Question

Seja X ⊂R ilimitado superiormente. Dada f : X −→R, escreve-se lim x→+∞ f(x) = L, quando o número real L satisfaz á seguinte condição: ∀E > 0, ∃A > 0; x ∈ X e x > A =⇒ |f(x)−L| < E. Ou seja, dado arbitrariamente E >, pode-se encontrar A > 0 tal que|f(x)−L| < E sempre que x > A. Prove que:
(a) lim x→+∞ 1 x = 0.
(b) lim x→+∞ 3x + 2 x + 1 = 3.

Answer 1

(a) ƒ(x) = 1/x
lim (1/x) = 0
x → ∞

Temos de provar, para x ∈ X:
∀ε > 0 ∃A>0: |x| > A ⇒ |ƒ(x)| < ε

Notando que:
|ƒ(x)| = |1/x| = 1/|x|,
tem-se:
1/|x| < ε ⇔ |x| > 1/ε

Assim, tomando A = 1/ε, prova-se que:
lim (1/x) = 0
x → ∞

(b) ƒ(x) = (3x + 2)/(x + 1)
lim [(3x + 2)/(x + 1)] = 3
x → ∞

Temos de provar, para x ∈ X:
∀ε > 0 ∃A>0: |x| > A ⇒ |ƒ(x) – 3| < ε

Notando que:
|ƒ(x) – 3| = |(3x + 2)/(x + 1) – 3|,
fazemos a divisão de polinómios e obtemos:
|3 – 1/(x + 1) – 3| = 1/|x + 1| < ε

Pela desigualdade triangular:
|x + 1| ≤ |x| + 1 ⇔ 1/|x + 1| ≥ 1/(|x| + 1) ⇔ 1/(|x| + 1) ≤ 1/|x + 1| < ε ⇔ |x| + 1 > 1/ε ⇔ |x| > 1/ε – 1

Assim, tomando A = 1/ε – 1, prova-se que
lim ƒ(x) = 3
x → ∞