Question

Seja X = 1,5323232...um número decimal periódico no qual os dígitos 3 e 2 se repetem indefinidamente nesta ordem. Quando X é escrito como uma fração irredutível, o numerador excede o denominador de:
a) 527.
b) 472.
c) 381.
d) 295.
e) 257.

Answer 1

Olá.

 

Temos uma dízima periódica que precisa ser transformada em uma fração geratriz.

 

A dízima é:

 

$\mathsf{x=1,5\overline{32}=1+5\overline{32}}$

 

Por conveniência, separei o valor inteiro do valor decimal. Para calcular a fração geratriz de uma dízima, seguimos as seguintes regras:

 

     No numerador temos que identificar o período, que é a parte que se repete.

     Em uma dízima composta, onde há números além do período (esses são chamados de antiperíodo), no numerador devemos subtrair o valor do antiperíodo de todo o conteúdo após a vírgula. Nesse caso, será 532 – 5.

     No denominador, adicionamos um 9 para cada valor que se repete no período (nesse caso, serão dois 9) e um zero na direita para cada valor existente no antiperíodo (nesse caso, apenas um 0).

 

Montando a fração geratriz, teremos:

 

$\mathsf{x=1+0,5\overline{32}}\\\\\\ \mathsf{x=1+\dfrac{532-5}{990}}\\\\\\ \mathsf{x=1+\dfrac{527}{990}}$

 

Agora, temos de somar o valor inteiro a fração. Por ser mais rápido, multiplicarei 1 por uma fração onde o numerador e o denominador é 990, para que sejam igualados os denominadores. Teremos:

 

$\mathsf{x=1+\dfrac{527}{990}}\\\\\\ \mathsf{x=1\cdot\dfrac{990}{990}+\dfrac{527}{990}}\\\\\\ \mathsf{x=\dfrac{990}{990}+\dfrac{527}{990}}\\\\\\ \mathsf{x=\dfrac{990+527}{990}}\\\\\\ \mathsf{x=\dfrac{1.517}{990}}$

 

Essa fração já está em sua forma irredutível. Subtraindo o denominador do numerador, teremos:

 

1.517 – 990 = 527

 

Com base nisso, podemos afirmar que a resposta correta está na alternativa A.

 

Quaisquer dúvidas, deixe nos comentários.

Bons estudos$.$