Seja X = [1;4] e g: X → R uma função contínua
em seu domínio definida por g(x) = x2 – 2x – 3.
Calcule g(1) e g(4), depois mostre que existe c ER,
com 1<c< 4 tal que g(c) = 0. Nessas condições,
podemos afirmar que :
Alternativas
c=1,5
c=2,0
Soluções para a tarefa
Resposta:
Gabarito: alternativa B
Explicação passo-a-passo:
Para resolver esta questão é necessário o conhecimento dos conceitos de sequências numéricas
estudadas nas disciplinas de Análise Matemática e Cálculo Diferencial e Integral. Além disso, precisa-se
ter o domínio da aplicação de propriedades usadas para o cálculo de limites de sequências, tais como a
Regra de L´Hospital e o Teorema do Confronto (também conhecido por “teorema do sanduíche”). Esses
conteúdos são amplamente abordados em livros clássicos de Análise Matemática e Cálculo Diferencial,
tais como Anton (2000), Ávila (2006) e Lima (1982).
Sendo n > 1, ao multiplicar todos os membros da desigualdade dada na questão pelo termo
,
obtém-se
↔
A seguir, analisando os limites (1)
e (2)
, tem-se:
(1) =
= e0 = 1, pela continuidade da função exponencial.
(2) Seja L = = . Então, considerando a continuidade da função logaritmo,
Pela Regra de L’Hospital aplicada ao limite de função de variável real
, tem-se
. Assim, dada a sequência an = n, que tende ao infinito por valores
positivos, pode-se afirmar que
. (Lima, 1993, p. 64)
Portanto .
Assim tem-se que
e também .
Pelo Teorema do Confronto aplicado às sequências
, e , que
satisfazem e
, pode-se concluir que
.
Portanto a alternativa B está correta:
.
O nível de dificuldade desta questão é médio, pois as propriedades usadas para o cálculo de limites
das sequências requerem habilidade de cálculo e conhecimento de diversos conceitos, os quais não
são considerados elementares.