Seja x = 1,123123… A diferença entre o numerador e o denominador da sua representação fracionária é:*
A) 123.
B) 999.
C) 321.
D) 112.
E)1122.
Soluções para a tarefa
Resposta:
A diferença entre o numerador e o denominador da sua representação fracionária é: a) 123
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Para representar a fração geratriz de uma dízima, gosto de verificar se é possível desmembrá-la numa soma entre uma parte inteira e uma parte decimal:
\tt x=1,\!123123...x=1,123123...
\tt x=1+\underbrace{\tt 0,\!123123...}_{\tt y}~\sf(i)x=1+y0,123123... (i)
Como foi possível, atribuí ''y'' à essa outra dízima, de modo que y = 0,123123... (ii). A fim de ''trazer'' os três algarismos que se repetem para a parte inteira, estarei multiplicando (ii) por 1000:
\tt 1000\cdot y=1000\cdot0,\!123123...1000⋅y=1000⋅0,123123...
\tt 1000y=123,\!123123...~\sf(iii)1000y=123,123123... (iii)
Daí, calculando a diferença (iii) – (ii) membro a membro, obtemos:
\tt 1000y-y=123,\!123123...-0,\!123123...1000y−y=123,123123...−0,123123...
\tt999y=123999y=123
\tt y=\dfrac{123}{999}y=999123
Assim, voltando na equação (i), encontramos:
\tt x=1+yx=1+y
\tt x=1+\dfrac{123}{999}x=1+999123
\tt x=\dfrac{1\cdot999+123}{999}x=9991⋅999+123
\tt x=\dfrac{1122}{999}x=9991122
PORTANTO, a diferença entre o numerador e o denominador dessa fração é 1122 – 999 = 123 ⇒ alternativa a).
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