Question

Seja v1 = (2, 4, -4), v2 = (-1, 0, 5) e v3 = (3, 6, 0) vetores em R^3.

a) Expresse o vetor v = (6, 6, -17) como uma combinação linear dos vetores v1, v2 e v3. Esta combinação é única? Por quê?

b) Os vetores v1, v2 e v3 formam uma base para R^3? Justifique.

Answer 1

a)

(6,6,-17) = a * (2,4,-4) + b * (-1,0,5) + c * (3,6,0)

 6 =2a-b+3c ==>6=3-3c-b+3c ==>b=-3

 6=4a+6c ==>-4a=6c-6 ==>2a=3-3c ==>2a=3-2 ==>a=1/2

-17=-4a+5b ==> -17=6c-6+5b ==>6c=-17+6+15 ==>c=2/3

a=1/2

b=-3

c=2/3

v = (1/2)*v1 -3 * v2 + (2/3) * v3

É única com estas coordenadas e com estes vetores, mas o vetor v=(6,6,-17) poderá ser igual a combinação linear de outros vetores do R³.

b)  

2  4  -4

-1  0   5

3  6   0

det = 24  ≠ 0  , portanto são LI    

e como são 3 dimensões é uma Base do R³