Question

Seja V=R4 e

W={(1,1,1,1),(1,2,3,2),(2,5,6,4),(2,6,8,5)}

Qual é a dimensão de W?

Answer 1

Resposta:

3

Explicação passo-a-passo:

Para determinar a dimensão de W, devemos inicialmente calcular uma base desse subespaço vetorial. Sendo uma base o maior subconjunto linearmente independente de geradores do espaço, devemos achar o maior subconjunto LI dentre os vetores (1, 1, 1, 1),(1, 2, 3, 2),( 2, 5, 6, 4) e (2, 6, 8, 5).

Vamos inicialmente ver se esses 4 vetores são LI. Dada a equação abaixo:

$a_1(1,1,1,1)+a_2(1,2,3,2)+a_3(2,5,6,4)+a_4(2,6,8,5)=(0,0,0,0)$

Os vetores são LI se, e somente se, a única solução do sistema acima for $a_1=a_2=a_3=a_4=0$ (note que esse resultado sempre será solução de uma equação desse tipo, mas ela deve ser a única solução para os vetores serem LI). Da equação acima tiramos o seguinte sistema:

$\left\{\begin{matrix}a_1+a_2+2a_3+2a_4=0\\a_1+2a_2+5a_3+6a_4=0\\a_1+3a_2+6a_3+8a_4=0\\a_1+2a_2+4a_3+5a_4=0\end{matrix}\right.$

A melhor forma para resolver este sistema é por escalonamento. Reescrevendo o sistema na forma matricial:

$\begin{bmatrix}1&1&2&2\\1&2&5&6\\1&3&6&8\\1&2&4&5\end{bmatrix}\left.\begin{matrix}0\\0\\0\\0\end{matrix}\right|$

Basta agora escalonar esta matriz. Subtraindo as linhas 2, 3 e 4 pela linha 1:

$\begin{bmatrix}1&1&2&2\\0&1&3&4\\0&2&4&6\\0&1&2&3\end{bmatrix}\left.\begin{matrix}0\\0\\0\\0\end{matrix}\right|$

Subtraímos agora as linhas 1 e 4 pela linha 2, além de subtrair a linha 3 pelo dobro da linha 2:

$\begin{bmatrix}1&0&-1&-2\\0&1&3&4\\0&0&-2&-2\\0&0&-1&-1\end{bmatrix}\left.\begin{matrix}0\\0\\0\\0\end{matrix}\right|$

Subtraindo a linha 4 pela metade da linha 3, ficamos com:

$\begin{bmatrix}1&0&-1&-2\\0&1&3&4\\0&0&-2&-2\\0&0&0&0\end{bmatrix}\left.\begin{matrix}0\\0\\0\\0\end{matrix}\right|$

A matriz acima já está escalonada. Como obtivemos uma linha nula e temos 4 variáveis, o sistema inicial admite infinitas soluções, logo os vetores são LD, não formando assim uma base. Devemos então testar um subconjunto com 3 desses 4 vetores para testar se são LI.

Peguemos então o conjunto {(1, 1, 1, 1), (1, 2, 3, 2), (2, 5, 6, 4)}. Pela mesma lógica, devemos escalonar a seguinte matriz e analisar o seu conjunto solução:

$\begin{bmatrix}1&1&2\\1&2&5\\1&3&6\\1&2&4\end{bmatrix}\left.\begin{matrix}0\\0\\0\\0\end{matrix}\right|$

Subtraindo as linhas 2, 3 e 4 pela linha 1:

$\begin{bmatrix}1&1&2\\0&1&3\\0&2&4\\0&1&2\end{bmatrix}\left.\begin{matrix}0\\0\\0\\0\end{matrix}\right|$

Subtraindo as linhas 1 e 4 pela linha 2, além de subtrair a linha 3 pelo dobro da linha 2:

$\begin{bmatrix}1&0&-1\\0&1&3\\0&0&-2\\0&0&-1\end{bmatrix}\left.\begin{matrix}0\\0\\0\\0\end{matrix}\right|$

Subtraindo a linha 4 pela metade da linha 3:

$\begin{bmatrix}1&0&-1\\0&1&3\\0&0&-2\\0&0&0\end{bmatrix}\left.\begin{matrix}0\\0\\0\\0\end{matrix}\right|$

A matriz acima já está escalonada. Como temos 3 variáveis e 3 linhas não nulas, o sistema assume apenas uma solução, sendo ela $a_1=a_2=a_3=a_4=0$, logo os vetores são LI e o conjunto {(1, 1, 1, 1), (1, 2, 3, 2), (2, 5, 6, 4)} é base de W. Como a base do espaço possui 3 elementos, concluímos que sua dimensão é 3.