Question

Seja V o espaço gerado por v1 = cos2 x, v2 = sen2 x e v3 = cos 2x. Utilizando seus conhecimentos em trigonometria, qual das alternativas abaixo justifica corretamente que o conjunto S = {v1, v2, v3} não é uma base de V?

Answer 1

Utilizando o conceito de base de um espaço vetorial, temos que, a relação trigonométrica que justifica a afirmação feita é $cos 2x = cos^2 x - sen^2 x$.

Espaço vetorial

Dizemos que um espaço vetorial V é gerado pelos vetores do conjunto $S = \{ v_1, \cdots , v_n \}$ quando todo vetor pertencentes a V podem ser escritos como uma combinação linear dos vetores de S. Nesse caso, dizemos que S é um conjunto de geradores de V.

Um conjunto de geradores de um espaço vetorial V é uma base quando a combinação linear descrita é única. Isso equivale a afirmar que os vetores de S são linearmente independentes.

Para resolver a questão proposta precisamos de uma relação trigonométrica que prove que os vetores de S não são linearmente independentes, ou seja, que existem valores reais a, b e c, tais que:

$a*cos (2x) + b* sen^2 (x) + c* cos^2 (x) = 0$

Sendo que, pelo menos um desses três valores é não nulo. Isso ocorre quando tomamos a = 1, b = 1 e c = -1, o que fornece a relação trigonométrica:

$cos 2x = cos^2 x - sen^2 x$

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#SPJ1