Question

Seja V o conjunto de todos os pares ordenados de números reais e coonsidere as operações de adição e multiplicação por escalar definidas em $u=(u_{1}, \ u_{2}) \ e \ v=(v_{1}, \ v_{2}) \ por \ u + v = (u_{1} + v_{1} + 1, \ u_{2} + v_{2}+1), \ \ \ au =(au_{1}, \ au_{2})$

a) Calcule u + v e au, com u = (0,4), v = (1, -3) e a = 2.

b) Mostre que (0,0) ≠ 0.​

Answer 1

Soma

$\Large\displaystyle\begin{gathered}u + v = \left(u_1 + u_2 + 1, v_1 + v_2 + 1\right)\end{gathered}$

Multiplicação

$\Large\displaystyle\begin{gathered}\alpha u = \left(\alpha u_1, \alpha u_2\right)\end{gathered}$

Note que a multiplicação por escalar é a usual.

a)

Tomando u = (0, 4) e v = (1, -3) e a = 2, temos que u + v

                          $\Large\displaystyle\begin{gathered}u + v = \left(0,4\right) + \left(1,-3\right)\\ \\u + v = \left(0 + 1 + 1,4 - 3 +1\right)\\ \\\boxed{u + v = \left(2,2\right)}\\ \\\alpha u = 2\left(0,4\right) \\ \\\boxed{\alpha u = \left(0,8\right)}\\ \\\end{gathered}$

b)

Podemos provar que o vetor (0,0) não é um elemento neutro realizando uma soma de um vetor qualquer com (0,0) dessa forma, considere u = (α, β) e v = (0,0)

                                    $\Large\displaystyle\begin{gathered}u + v = \left(\alpha,\beta\right) + \left(0,0\right)\\ \\u + v = \left(\alpha + 1,\beta + 1\right)\end{gathered}$

Ou seja, (0,0) não é o vetor nulo, ou elemento identidade.

Se quiser, tome α, β = 0, veja que o resultado será (1,1).

Obs: O elemento identidade é dado pelo vetor (-1, -1), note que u + v = u se v = (-1, -1).

Espero ter ajudado

Qualquer dúvida respondo nos comentários