Question

Seja V o conjunto de todos os pares ordenados (a, b) de numeros reais.
Mostre que V não é um espaço vetorial sobre R com adição e multiplicação por
escalar definidas por:
(i) (a, b) + (c, d) = (a + d, b + c) e k(a, b) = (ka, kb),
(ii) (a, b) + (c, d) = (0, 0) e k(a, b) = (ka, kb).

Answer 1

Explicação passo-a-passo:

Para ser um Espaço Vetorial, está soma e Produto por escalar deve respeitar todos os 8 Axiomas a seguir:

Seja v,u, w ∈ V,     v, u, w são Vetores

**Assumirei que estamos no corpo dos números Reais (ou seja os escalares são números reais)

Adição:

1. Associatividade: v+(u+w)=(v+u)+w
2. Comutatividade: v+u=u+v
3. Existência do elemento Neutro da Adição: u+0=u
4. Existência do oposto (inverso aditivo): u+(-u)=0

Multiplicação Por escalar:

Seja a,b ∈ R

1. Associatividade: a(bv)=(ab)v
2. Existência do elemento neutro: 1v=v

Propriedades que envolvem adição e multiplicação:

1. a(v+u)=av+au
2. (a+b)v=av+bv

Basta descumprir um deste axiomas para não ser espaço vetorial.

Item (i):

Adição: (a,b)+(c,d)=(a+d,b+c)    (Foi definida deste modo)

Vamos verificar a Comutatividade:

(a,b)+(c,d)=(a+d,b+c)=(d+a,c+b)=(d,c)+(a,b) AO passo que (c,d)+(a,b)=(c+b,d+a). Ou seja $(a,b)+(c,d)\neq (c,d)+(a,b)$

Assim (II) não é espaço vetorial por não ser comutativo para adição.

Item(ii):

(ii) (a, b) + (c, d) = (0, 0) e k(a, b) = (ka, kb).

Fácil ver  que Esta Soma respeita os 4 axiomas e que o Produto respeita os 2 axiomas da Multiplicação.

Vamos verificar se respeita os axiomas da distributividade:

Tome k,l ∈ R  e v=(a,b), u=(c,d) vetores.

1) k(v+u)=(k(0,0)) (pela definição de Adição deste Item)

já kv+ku=(k(a,b),k(c,d))=(ka+kc,kb+kd)=k(a,b)+k(c,d)

Logo desrespeita o Axioma da distributividade:

$k(v+u)\neq kv+ku$

Logo V não é espaço Vetorial para soma e multiplicação de (ii)