Question

Seja V o conjunto de todas as funções de um conjunto não-vazio X num corpo k. Para
quaisquer funções f, g ∈ V e qualquer escalar k ∈ K, sejam f + g e kf as funções em V
definidas como segue:
(f + g)(x) = f(x)+g(x) e (kf)(x)=kf(x), ∀ x ∈ X. Demonstre que V é um espaço vetorial sobre K.

Answer 1

Basta verificar todos os axiomas de espaço vetorial:

1) u+v = v+u  ∀u,v ∈ V

Como K é corpo, f(x) + g(x) = g(x) + f(x) pela comutatividade do corpo. Ou seja

(f+g) (x) = f(x) + g(x) = g(x) + f(x) = (g+f)(x) ∀x ∈X

Logo f+g = g+f

2) u+(v+w) = (u+v)+w ∀u,v,w ∈ V

Da mesma forma que o anterior, vem da associatividade do corpo:

f(x) + (g(x) + h(x)) = (f(x) + g(x)) + h(x)

Disso segue que f + (g+h) = (f+g)+h

3) Existe 0 ∈ V tal que 0+v = v  ∀v ∈ V

Basta considerar a função nula (mais precisamente, cuja imagem é o 0 do corpo):

(0+f)(x) = 0(x) + f(x) = 0 + f(x) = 0  ---> 0+f = f

4) Existe -v ∈ V tal que v+(-v) = 0  

Basta definir (-f)(x)  = - (f(x))

Logo (f + (-f) )(x) = f(x) + (-f(x)) = 0

f+ (-f) = 0

5) (αβ)v = α(βv)  ∀v ∈ V   ∀α,β ∈ K

(  (αβ)f ) (x) = (αβ)f(x) = α ( βf(x) ) = α ((βf) (x)) =  ( α(βf) )(x)

Logo (αβ)f = α(βf)

6) 1v = v ∀v ∈ V

1f(x) = 1f(x) = f(x)

Logo 1f = f

7) (α+β)v = (αv) + (βv)  ∀v ∈ V   ∀α,β ∈ K

(α+β)f(x) = (α+β)f(x) = αf(x) + βf(x) = (αf + βf) (x)

(α+β)f = αf + βf

8) α(u+v) = (αu) + (αv)  ∀u,v ∈ V   ∀α ∈ K

α(f+g)(x) = α(f(x) + g(x)) = αf(x) + αg(x) = (αf + αg)(x)

α(f+g) = αf + αg

Espero que não tenha esquecido nenhum