Question

Seja V= ℝ3. Determinar o Subespaço gerado pelo conjunto A = (V1, V2), sendo V1 = (1,-2, -1) e V2 = (2, 1, 1).

Answer 1

O subespaço pedido é o plano de equação $\mathbf{x+3y-5z=0.}$

Explicação

Nesta questão, pede-se para determinar o subespaço de $\mathbb{R}^3$ gerado pelo conjunto $A=\{v_1,\,v_2\}$ em que $v_1=(1,\,-2,\,-1)$ e $v_2=(2,\,1,\,1).$

Vamos chamar de $S$ o subespaço que queremos determinar. Para que um vetor $(x,\,y,\,z)\in\mathbb{R}^3$ seja um elemento de $S,$ devem existir escalares reais $a$ e $b$ tais que:

                                  $\Large\displaystyle\text{ (x,\,y,\,z)=av_1+bv_2 .}$

Desse modo, temos:

$\Large\displaystyle\begin{aligned}(x,\,y,\,z)&=av_1+bv_2\\\\&=a(1,\,-2,\,-1)+b(2,\,1,\,1)\\\\&=(a,\,-2a,\,-a)+(2b,\,b,\,b)\\\\&=(a+2b,\,-2a+b,\,-a+b).\end{aligned}$

Pela igualdade de ternas ordenadas, obtém-se o seguinte sistema nas incógnitas $a$ e $b:$

$\Large\displaystyle\begin{cases}a+2b=x\\\\-2a+b=y\\\\-a+b=z\end{cases}$

Então, para que um vetor seja elemento de $S$ é preciso que existam reais $a$ e $b$ satisfazendo o sistema acima, cuja matriz ampliada é a que segue:

$\Large\displaystyle\text{ \begin{bmatrix}1&2&x\\-2&1&y\\-1&1&z\end{bmatrix} .}$

Vamos escaloná-la. Observe:

$\Large\displaystyle\begin{gathered}\begin{bmatrix}1&2&x\\-2&1&y\\-1&1&z\end{bmatrix}\overset{L_2\leftarrow L_2+2L_1}{\implies}\\\\\implies\begin{bmatrix}1&2&x\\0&5&2x+y\\-1&1&z\end{bmatrix}\overset{L_2\leftarrow L_2/5}{\implies}\\\\\implies\begin{bmatrix}1&2&x\\0&1&\frac{2x+y}{5}\\-1&1&z\end{bmatrix}\overset{L_3\leftarrow L_3+L_1}{\implies}\\\\\implies\begin{bmatrix}1&2&x\\0&1&\frac{2x+y}{5}\\0&3&x+z\end{bmatrix}\overset{L_3\leftarrow L_3/3}{\implies}\end{gathered}$

$\Large\displaystyle\begin{gathered}\implies\begin{bmatrix}1&2&x\\0&1&\frac{2x+y}{5}\\0&1&\frac{x+z}{3}\end{bmatrix}\overset{L_3\leftarrow L_3-L_2}{\implies}\\\\\implies\begin{bmatrix}1&2&x\\0&1&\frac{2x+y}{5}\\0&0&\frac{x+z}{3}-\frac{2x+y}{5}\end{bmatrix}\end{gathered}$

Assim, o nosso sistema possui solução se, e somente se, $\displaystyle\frac{x+z}{3}-\frac{2x+y}{5}=0,$ ou seja,

$\Large\displaystyle\begin{gathered}\displaystyle\frac{x+z}{3}-\frac{2x+y}{5}=0\implies\\\\\implies\frac{5(x+z)}{5\cdot 3}-\frac{3(2x+y)}{3\cdot5}=0\implies\\\\\implies\frac{5x+5z}{15}-\frac{6x+3y}{15}=0\implies\\\\\implies\frac{5x+5z-6x-3y}{15}=0\implies\\\\\implies5x+5z-6x-3y=0\implies\\\\\implies-x-3y+5z=0\implies\\\\\implies\boxed{x+3y-5z=0}\end{gathered}$

Portanto, o subespaço $S$ que queríamos determinar é:

$\Large\boxed{\boxed{\text{ S=\{(x,\,y,\,z)\in\mathbb{R}^3: x+3y-5z=0\} .}}}$

Dúvidas? Comente.

Espero ter ajudado! :)

Se quiser aprender mais, veja uma questão semelhante neste link https://brainly.com.br/tarefa/20285879