Question

Seja uma sequência crescente de números inteiros a1 , a2 , a3 , …, an , onde a1 é o primeiro termo, a2 o segundo termo e assim por diante. Cada elemento dessa sequência, a partir do terceiro, vale o dobro do termo anterior mais o triplo do termo que antecede o anterior. Sabendo-se que a2 + a3 = 21 e que o primeiro termo é maior do que 2, o quinto termo dessa sequência é o número
a 125.
b 137.
c 143.
d 159.
e 167

Answer 1

A sequência representada genericamente até o quinto termo é:
a₁ > 2
a₂ = ?
a₃ = 2.a₂ + 3.a₁
a₄ = 2.a₃ + 3.a₂
a₅ = 2.a₄ + 3.a₃

Sabe-se que a₂ + a₃ = 21. Substituindo a₃ por 2.a₂ + 3.a₁:

a₂ + (2.a₂ + 3.a₁) = 21
a₂ + 2.a₂ + 3.a₁ = 21
3a₂ + 3a₁ = 21
A equação pode ser simplificada dividindo ambos os membros por 3:
 a₂ + a₁ = 7
Por tratar-se de uma sequência crescente, inverte-se a ordem do primeiro e do segundo termo:
a₁ + a₂ = 7
Agora, deve-se encontrar os possíveis valores para a₁ e a₂ para que sua soma seja 7:
a)1 + 6 = 7
b)2 + 5 = 7
c)3 + 4 = 7
d)4 + 3 = 7 ------> estes números não são possíveis, pois a₁ assumiria um valor maior do que a₂ e a sequência é crescente. 

Considerando os valores anteriores, apenas a₁ = 3 e a₂ = 4 podem ser considerados, pois em a) a₁ é menor que 2 e em b) é igual a 2. A condição é de que a₁ seja maior que 2.

Portanto, a₁ = 3 e a₂ = 4. Basta substituir os valores em:
a₃ = 2.a₂ + 3.a₁
a₄ = 2.a₃ + 3.a₂
a₅ = 2.a₄ + 3.a₃

a₃ = 2.4 + 3.3 = 8 + 9 = 17
a₄ = 2.a₃ + 3.a₂ = 2.17 + 3.4 = 34 + 12 = 46
a₅ = 2.a₄ + 3.a₃ = 2.46 + 3.17 = 92 + 51 = 143

Assim, a₅ = 143
Alternativa c.