Question

Seja uma pirâmide de vértice V e base hexagonal regular ABCDEF. Então, o volume da pirâmide VBDF é uma parte de VABCDEF correspondente a

A
17%.

B
25%.

C
33%.

D
44%.

E
50%.

Answer 1

O volume da pirâmide VBDF é uma parte de VABCDEF correspondente a 50%.

Vamos considerar que a aresta da base da pirâmide VABCDEF é x e que a sua altura seja h.

O volume de uma pirâmide é igual a um terço do produto da área da base pela altura.

Então, o volume da pirâmide VABCDEF é igual a:

$V=\frac{1}{3}6.\frac{x^2\sqrt{3}}{4}.h$

$V=\frac{6x^2\sqrt{3}h}{12}$

$V=\frac{x^2\sqrt{3}h}{2}$

Ou seja, 2V = x²√3.h.

Observe que a altura da pirâmide VBDF também será h.

A sua base é formada pelo triângulo equilátero BDF. Vamos supor que o lado desse triângulo seja l.

Da figura abaixo e utilizando a lei dos cossenos, obtemos:

l² = x² + x² - 2.x.x.cos(120)

l² = 2x² - 2x².(-0,5)

l² = 2x² + x²

l² = 3x²

l = x√3.

Portanto, o volume da pirâmide VBDF é:

$V' = \frac{1}{3}.\frac{3x^2\sqrt{3}}{4}.h$

$V=\frac{x^2\sqrt{3}h}{4}$.

Como 2V = x²√3.h, então:

V' = 2V/4

V' = V/2.

Logo, o volume da pirâmide VBDF é metade do volume da pirâmide VABCDEF.