Question

Seja uma pirâmide de vértice V e base hexagonal regular ABCDEF. Então, o volume da pirâmide VBDF é uma parte de VABCDEF correspondente a

A
17%.

B
25%.

C
33%.

D
44%.

E
50%.

Answer 1

O volume da pirâmide VBDF é uma parte de VABCDEF correspondente a 50%.

O volume de uma pirâmide é igual a um terço do produto da área da base pela altura.

Vamos considerar que o lado do hexágono regular é x e que a altura da pirâmide é h.

Como a área do hexágono é igual a seis vezes a área de um triângulo equilátero, temos que:

$V=\frac{1}{3}.6.\frac{x^2\sqrt{3}}{4}.h$

$V=\frac{6x^2\sqrt{3}h}{12}$

$V=\frac{x^2\sqrt{3}h}{2}$.

Agora, vamos calcular o volume da pirâmide VBDF.

Observe que temos uma pirâmide de base triangular, sendo que esse triângulo é equilátero.

Veja a figura abaixo.

Considere que o lado do triângulo equilátero é l.

Pela lei dos cossenos, temos que:

l² = x² + x² - 2.x.x.cos(120)

l² = 2x² - 2x².(-1/2)

l² = 2x² + x²

l² = 3x²

l = x√3.

A altura dessa pirâmide também será h.

Logo, o volume é igual a:

$V'=\frac{1}{3}.\frac{3x^2\sqrt{3}}{4}.h$

$V'=\frac{x^2\sqrt{3}.h}{4}$.

De $V=\frac{x^2\sqrt{3}h}{2}$, temos que 2V = x²√3.h.

Substituindo em $V'=\frac{x^2\sqrt{3}.h}{4}$, ficamos com:

V' = 2V/4

V' = V/2.

Ou seja, o volume da pirâmide VBDF é metade do volume da pirâmide VABCDEF.

Logo, a alternativa correta é a letra e).