Seja ≤ uma ordem parcial sobre um conjunto P e defina x < y por x ≤ y e x 6= y. Mostre
que, dessa forma, (a) não existe x ∈ P tal que x < x e (b) se x < y e y < z então x < z.
Soluções para a tarefa
(a) Temos como definição para x < y: x ≤ y e x ≠ y.
Vamos supor que exista um x ∈ P, tal que x < x. De acordo com a definição acima, isso significaria dizer que x ≤ x (ok!) e x ≠ x (absurdo, pois um número não pode ser diferente dele mesmo).
Logo, chegamos a uma contradição. Concluímos que não existe x ∈ P, tal que x < x.
(b) Se x < y, temos pela definição que x ≤ y e x ≠ y (1)
Se y < z, temos pela definição que y ≤ z e y ≠ z (2)
Para concluir que x < z, temos que demonstrar que x ≤ z e x ≠ z.
Sabemos que x ≤ y (1) e y ≤ z (2), logo x ≤ y ≤ z ⇒ x ≤ z.
Precisamos agora provar que x ≠ z. Vamos supor que x = z. Então, a partir de (1), concluiríamos que z < y. Porém, (2) nos diz que y < z. Daí, segue que z < y < z ⇒ z < z, o que, pela definição, significa que z ≠ z (absurdo, pois um número não pode ser diferente dele mesmo). Logo, concluímos que x ≠ z.
Se x ≤ z e x ≠ z, podemos concluir que x < z.