Question

Seja uma função real f do primeiro grau, portanto do tipo f(x)= ax +b com a,b € R e a ≠0 de tal modo que f(0) =1+f(1) e f(-1)=2-f(0). Calcule o valor da imagem f(3)

Answer 1

Quando x for 0, y vale (1 + f(1)).

Ou seja:

$1+f(1) = a \cdot 0 + b$

$b = 1 + f(1)$

Calculando f(1):

$f(1) = a \cdot 1 + b$

$f(1) = a + b$

Substituindo:

$b = 1 + a + b$

$b - b = 1 + a$

$0 = 1 + a$

$a = -1$

Agora, usando a segunda informação: Quando x for -1, y vale (2 - f(0)). Substituindo:

$-1 \cdot (-1) + b = 2 - f(0)$

$1 + b = 2 - f(0)$

Mas é dito que f(0) vale (1 + f(1)) e f(1) já vimos que vale (a+b), ou (-1+b). Substituindo:

$1 + b = 2 - (1+f(1))$

$1 + b = 2 - (1-1+b)$

$1 + b = 2 - b$

$b+b = 2 - 1$

$2 \cdot b = 1$

$b = \dfrac{1}{2}$

Ou seja, a função é:

$f(x) = -1 \cdot x + \dfrac{1}{2}$

O valor de f(3) é:

$f(3) = -1 \cdot 3 + \dfrac{1}{2}$

$f(3) = -3 + \dfrac{1}{2}$

$f(3) = -\dfrac{6}{2} + \dfrac{1}{2}$

$\boxed{f(3) = -\dfrac{5}{2}}$