seja uma função f(x,y) possui valores extremos em um ponto ( a,b) do seu domínio e se as suas derivadas parciais de primeira ordem estiverem definidas lá . podemos determinar as coordenadas desse ponto fazendo fx (x,y) = 0 e fy(x,y) = 0 , igualando as derivadas parciais f(x,y) a zero .
Anexos:
Soluções para a tarefa
Respondido por
5
Vamos lá.
Tem-se que:
f(x, y) = xy - x² - y² - 2x - 2y + 4
Agora vamos encontrar a derivada em relação a "x". Assim:
Δ/Δx = y - 2x - 2 ----- ordenando e reduzindo os termos semelhantes, teremos:
Δ/Δx = y - 2x - 2 . (I)
Agora vamos encontrar a derivada em relação a "y". Assim:
Δ/Δy = x - 2y - 2 ---- ordenando e reduzindo os termos semelhantes:
Δ/Δy = x - 2y - 2 . (II)
Agora veja: fazendo as expressões (I) e (II) iguais a zero, teremos:
i) As expressões (I) e (II) ficarão:
y - 2x - 2 = 0
e
x - 2y - 2 = 0
ii) Agora note isto: tanto na expressão (I) como na expressão (II), para que elas sejam iguais a zero, é necessário que tanto o "x" como o "y" sejam iguais a "-2". Assim, somando-se essas duas coordenadas, teremos:
- 2 + (-2) = -2 - 2 = - 4 <--- Esta é a resposta. Opção "a".
É bem possível que haja alguma outra forma de resolver a questão diferente da que acabamos de apresentar. Contudo, temos o sentimento de que esta é uma forma válida para a resolução.
É isso aí.
Deu pra entender bem?
Ok?
Adjemir.
Tem-se que:
f(x, y) = xy - x² - y² - 2x - 2y + 4
Agora vamos encontrar a derivada em relação a "x". Assim:
Δ/Δx = y - 2x - 2 ----- ordenando e reduzindo os termos semelhantes, teremos:
Δ/Δx = y - 2x - 2 . (I)
Agora vamos encontrar a derivada em relação a "y". Assim:
Δ/Δy = x - 2y - 2 ---- ordenando e reduzindo os termos semelhantes:
Δ/Δy = x - 2y - 2 . (II)
Agora veja: fazendo as expressões (I) e (II) iguais a zero, teremos:
i) As expressões (I) e (II) ficarão:
y - 2x - 2 = 0
e
x - 2y - 2 = 0
ii) Agora note isto: tanto na expressão (I) como na expressão (II), para que elas sejam iguais a zero, é necessário que tanto o "x" como o "y" sejam iguais a "-2". Assim, somando-se essas duas coordenadas, teremos:
- 2 + (-2) = -2 - 2 = - 4 <--- Esta é a resposta. Opção "a".
É bem possível que haja alguma outra forma de resolver a questão diferente da que acabamos de apresentar. Contudo, temos o sentimento de que esta é uma forma válida para a resolução.
É isso aí.
Deu pra entender bem?
Ok?
Adjemir.
adjemir:
Disponha, Roger, e bastante sucesso pra você. A propósito, você tem o gabarito da questão? É realmente a que demos?
Valeu fera ! um poquin diferente do que estou acostumado mais mt bom !!!
corretíssima no gabarito é isso mesmo fera !
Vendo agora a resolução do JBK, quero dar-lhe nota "1.000", pois está um primor. É como eu disse: há várias formas de resolver. A dele está simplesmente incontestável. Parabéns, JBK. Um abraço. Adjemir.
Obrigado, Lukio. Um abraço.
Obrigado Adjenir!
De nada, JBK. Você é um dos usuários desta plataforma cujas respostas dadas são sempre muito bem fundamentadas. Um abraço.
Um abraço também! Bom dia!
Respondido por
3
Boa noite Roger!
Solução!
Vemos que o problema é uma derivada parcial de primeira ordem,esse exercício oferece a possibilidade de reduzi-lo a um sistema linear com duas variáveis.
Veja!
![f(xy)=xy- x^{2} -y^{2}-2x-2y+4\\\\\\
Derivando~~em relac\~ao~~a~~x~~y~~constante.\\\\\\\
f(x)=y-2x-2\\\\\\
Derivando~~em relac\~ao~~a~~y~~x~~constante.\\\\\\
f(y)=x-2y-2](https://tex.z-dn.net/?f=f%28xy%29%3Dxy-+x%5E%7B2%7D+-y%5E%7B2%7D-2x-2y%2B4%5C%5C%5C%5C%5C%5C%0ADerivando%7E%7Eem+relac%5C%7Eao%7E%7Ea%7E%7Ex%7E%7Ey%7E%7Econstante.%5C%5C%5C%5C%5C%5C%5C%0Af%28x%29%3Dy-2x-2%5C%5C%5C%5C%5C%5C%0ADerivando%7E%7Eem+relac%5C%7Eao%7E%7Ea%7E%7Ey%7E%7Ex%7E%7Econstante.%5C%5C%5C%5C%5C%5C%0A%0Af%28y%29%3Dx-2y-2%0A%0A "f(xy)=xy- x^{2} -y^{2}-2x-2y+4\\\\\\
Derivando~~em relac\~ao~~a~~x~~y~~constante.\\\\\\\
f(x)=y-2x-2\\\\\\
Derivando~~em relac\~ao~~a~~y~~x~~constante.\\\\\\
f(y)=x-2y-2")
![Um~~sistema~~linear.\\\\\\
\begin{cases}
y-2x-2=0\\
x-2y-2=0
\end{cases}\\\\\\\
Organizando~~o~~sistema~~fica~~assim!\\\\\\
\begin{cases}
-2x+y=2\\
x-2y=2
\end{cases}\\\\\\\
Metodo~~da~~adic\~ao!\\\\\\\
\begin{cases}
-2x+y=2.(2)\\
x-2y=2
\end{cases}\\\\\\\
\begin{cases}
-4x+2y=4\\
~~~x-2y=2
\end{cases}\\\\\\\
-4x+x=4+2\\\\\
-3x=6\\\\\
x= -\dfrac{6}{3}\\\\\
\boxed{x=-2}](https://tex.z-dn.net/?f=Um%7E%7Esistema%7E%7Elinear.%5C%5C%5C%5C%5C%5C%0A%5Cbegin%7Bcases%7D%0Ay-2x-2%3D0%5C%5C%0Ax-2y-2%3D0%0A%5Cend%7Bcases%7D%5C%5C%5C%5C%5C%5C%5C%0AOrganizando%7E%7Eo%7E%7Esistema%7E%7Efica%7E%7Eassim%21%5C%5C%5C%5C%5C%5C%0A%0A%5Cbegin%7Bcases%7D%0A-2x%2By%3D2%5C%5C%0Ax-2y%3D2%0A%5Cend%7Bcases%7D%5C%5C%5C%5C%5C%5C%5C%0A%0AMetodo%7E%7Eda%7E%7Eadic%5C%7Eao%21%5C%5C%5C%5C%5C%5C%5C%0A%0A%5Cbegin%7Bcases%7D%0A-2x%2By%3D2.%282%29%5C%5C%0Ax-2y%3D2%0A%5Cend%7Bcases%7D%5C%5C%5C%5C%5C%5C%5C%0A%0A%5Cbegin%7Bcases%7D%0A-4x%2B2y%3D4%5C%5C%0A%7E%7E%7Ex-2y%3D2%0A%5Cend%7Bcases%7D%5C%5C%5C%5C%5C%5C%5C%0A-4x%2Bx%3D4%2B2%5C%5C%5C%5C%5C%0A-3x%3D6%5C%5C%5C%5C%5C%0Ax%3D+-%5Cdfrac%7B6%7D%7B3%7D%5C%5C%5C%5C%5C%0A%5Cboxed%7Bx%3D-2%7D+%0A "Um~~sistema~~linear.\\\\\\
\begin{cases}
y-2x-2=0\\
x-2y-2=0
\end{cases}\\\\\\\
Organizando~~o~~sistema~~fica~~assim!\\\\\\
\begin{cases}
-2x+y=2\\
x-2y=2
\end{cases}\\\\\\\
Metodo~~da~~adic\~ao!\\\\\\\
\begin{cases}
-2x+y=2.(2)\\
x-2y=2
\end{cases}\\\\\\\
\begin{cases}
-4x+2y=4\\
~~~x-2y=2
\end{cases}\\\\\\\
-4x+x=4+2\\\\\
-3x=6\\\\\
x= -\dfrac{6}{3}\\\\\
\boxed{x=-2}")
![x-2y=2\\\\\
-2-2y=2\\\\\
-2y=2+2\\\\\
-2y=4\\\\\\
y= -\dfrac{4}{2}\\\\\
\boxed{y=-2}](https://tex.z-dn.net/?f=x-2y%3D2%5C%5C%5C%5C%5C%0A-2-2y%3D2%5C%5C%5C%5C%5C%0A-2y%3D2%2B2%5C%5C%5C%5C%5C%0A-2y%3D4%5C%5C%5C%5C%5C%5C%0Ay%3D+-%5Cdfrac%7B4%7D%7B2%7D%5C%5C%5C%5C%5C%0A%5Cboxed%7By%3D-2%7D+ "x-2y=2\\\\\
-2-2y=2\\\\\
-2y=2+2\\\\\
-2y=4\\\\\\
y= -\dfrac{4}{2}\\\\\
\boxed{y=-2}")
![Fazendo~~a~~soma~~das~~coordenadas!\\\\\
Maximo~~Relativo=x+y\\\\\\
Maximo~~Relativo=-2-2\\\\\\
Maximo~~Relativo=-4\\\\\\\\
\boxed{Resposta:~~Maximo~~Relativo=-4~~\boxed{Alternativa~~A}}](https://tex.z-dn.net/?f=Fazendo%7E%7Ea%7E%7Esoma%7E%7Edas%7E%7Ecoordenadas%21%5C%5C%5C%5C%5C%0AMaximo%7E%7ERelativo%3Dx%2By%5C%5C%5C%5C%5C%5C%0AMaximo%7E%7ERelativo%3D-2-2%5C%5C%5C%5C%5C%5C%0AMaximo%7E%7ERelativo%3D-4%5C%5C%5C%5C%5C%5C%5C%5C%0A%5Cboxed%7BResposta%3A%7E%7EMaximo%7E%7ERelativo%3D-4%7E%7E%5Cboxed%7BAlternativa%7E%7EA%7D%7D "Fazendo~~a~~soma~~das~~coordenadas!\\\\\
Maximo~~Relativo=x+y\\\\\\
Maximo~~Relativo=-2-2\\\\\\
Maximo~~Relativo=-4\\\\\\\\
\boxed{Resposta:~~Maximo~~Relativo=-4~~\boxed{Alternativa~~A}}")
Boa noite!
Bons estudos!
Solução!
Vemos que o problema é uma derivada parcial de primeira ordem,esse exercício oferece a possibilidade de reduzi-lo a um sistema linear com duas variáveis.
Veja!
Boa noite!
Bons estudos!
Qualquer dúvida é só comentar!
sem dúvidas amigo !
Perguntas interessantes