Matemática, perguntado por jeisilaine6776, 6 meses atrás

Seja uma função contínua em [ 1 , 4 ]. Sabendo que f ( 1 ) = 3 , f ( 4 ) = 5 e ∫ 1 4 f ( x ) d x = 3 , determine o valor de: ∫ 1 4 x f ′ ( x ) d x

Soluções para a tarefa

Respondido por gbrllvr
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Quer-se resolver a integral:

14\int x\cdot f'(x)dx\ (1)

Para isso, vamos utilizar o método de integração por partes definido na expressão seguinte:

\int u\ dv = u\cdot v - \int v\ du\ (2)

Na integral que queremos resolver, (1), vamos definir então que

u = x, e

dv = f'(x)dx.

De onde obtemos que:

du = dx, e

v = \int f'(x)dx = f(x) .

Logo, a equação (2), pode ser escrita como sendo:

\int x\cdot f'(x)dx = x\cdot f(x)  - \int f(x)dx,

multiplicando toda equação por 14, e avaliando as integrais no intervalo [1,4]:

14\int\limits^{4}_{1} x\cdot f'(x)dx = 14[x\cdot f(x)]\Big|^{4}_{1} - 14\int f(x)dx\\\\14\int\limits^{4}_{1} x\cdot f'(x)dx = 14[4\cdot f(4) - 1\cdot f(1)] - 14\int f(x)dx

Substituindo os valores dados pela questão, f(4) = 5, f(1) = 3 e 14 ∫ f(x)dx = 3, temos:

14\int\limits^{4}_{1}x\cdot f'(x)dx = 14\cdot 17 - 3 = 238 - 3 = 235\\\\\therefore 14\int\limits^{4}_{1}x\cdot f'(x)dx = 235

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