Seja uma função contínua em [ 1 , 4 ]. Sabendo que f ( 1 ) = 3 , f ( 4 ) = 5 e ∫ 1 4 f ( x ) d x = 3 , determine o valor de: ∫ 1 4 x f ′ ( x ) d x
Soluções para a tarefa
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Quer-se resolver a integral:
Para isso, vamos utilizar o método de integração por partes definido na expressão seguinte:
Na integral que queremos resolver, (1), vamos definir então que
, e
.
De onde obtemos que:
, e
.
Logo, a equação (2), pode ser escrita como sendo:
,
multiplicando toda equação por 14, e avaliando as integrais no intervalo [1,4]:
Substituindo os valores dados pela questão, f(4) = 5, f(1) = 3 e 14 ∫ f(x)dx = 3, temos:
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