Question

Seja uma equação diferencial ordinária (EDO) dada por y' + 2y = e2x . Se para x =0, y = 4, determine a solução desta EDO.

Dado que y' = dy/dx


( ) y = (-3e2x + 19.e-2x)/4


( ) y = (2e2x + 14.e-2x)/4


( ) y = (3e2x + 13.e-2x)/4


( ) y = (e2x + 15.e-2x)/4


( ) y = (- e2x + 16.e-2x)/4

Answer 1

A solução geral fica:

$y=\frac{15.e^{-2x}+e^{2x}}{4}$

Explicação passo-a-passo:

Esta é uma equação diferencial não homogenea, nestes casos devemos resolver primeiramente o caso em que ela é homogenea, depois o caso particular e depois somar as duas soluções e obter a solução geral:

$\frac{dy}{dx}+2y=e^{2x}$

Primeiramente resolveremos ela da forma homogenea:

$\frac{dy}{dx}+2y=0$

$\frac{dy}{dx}=-2y$

Pelo metodo de separação de variaveis:

$\frac{dy}{y}=-2dx$

Integrando os dois lados:

$\int \frac{dy}{y}=\int -2dx$

$ln(y)=-2x+C$

$y=e^{-2x+C}$

$y=e^{-2x}.e^C$

Já que $e^C$ também é uma constante, podemos substituir por uma constante maior K:

$y=K.e^{-2x}$

Esta é a solução da parte homogenea.

Agora para a parte particular, vamos supor uma resposta que pareça com a equação:

$\frac{dy}{dx}+2y=e^{2x}$

Vamos obviamente supor que:

$y=A.e^{2x}$

Onde A é uma constante qualquer, então se derivarmos isso:

$y'=2A.e^{2x}$

Assim temos o valor da função e sua derivada, vamos substituir na equação:

$\frac{dy}{dx}+2y=e^{2x}$

$2A.e^{2x}+2(A.e^{2x})=e^{2x}$

$4A.e^{2x}=e^{2x}$

Então comparando os dois lados, vemos que 4A = 1, então A = 1/4. Assim nossa solução particular é:

$y=\frac{1}{4}e^{2x}$

Agora a solução geral basta somarmos as duas soluções:

$y=K.e^{-2x}+\frac{1}{4}e^{2x}$

Mas ainda falta determinar quanto vale K, para isso, basta substituirmos a condição de contorno (se x=0 y=4)

$y=K.e^{-2x}+\frac{1}{4}e^{2x}$

$4=K.e^{-2.0}+\frac{1}{4}e^{2.0}$

$4=K+\frac{1}{4}$

$K=4-\frac{1}{4}$

$K=\frac{15}{4}$

Então a solução geral fica:

$y=\frac{15}{4}.e^{-2x}+\frac{1}{4}e^{2x}$

$y=\frac{15.e^{-2x}+e^{2x}}{4}$