Question

Seja uma elipse com centro em C(2,-1) e que passa por (2,2) e (-3,-1), qual é á medida da sua distância focal. 6 7 8 9 10 Seja uma elipse com centro em C(2,2) e que passa por (15,2) e (2,7), qual é á medida do seu eixo maior. 12 24 36 10 26

Answer 1

Explicação passo-a-passo:

1) Os focos dessa elipse tem coordenadas $\sf F_1(2-c,-1)$ e $\sf F_1(2+c,-1)$

A soma das distâncias de qualquer ponto da elipse aos focos é constante

Sejam $\sf A(2,2)$ e $\sf B(-3,-1)$

Temos que:

$\sf \overline{AF_1}+\overline{AF_2}=\overline{BF_1}+\overline{BF_2}$

$\sf \sqrt{(2-c-2)^2+(-1-2)^2}+\sqrt{(2+c-2)^2+(-1-2)^2}=\sqrt{(2-c+3)^2+(-1+1)^2}+\sqrt{(2+c+3)^2+(-1+1)^2}$

$\sf \sqrt{(-c)^2+(-3)^2}+\sqrt{c^2+(-3)^2}=\sqrt{(5-c)^2+0^2}+\sqrt{(c+5)^2+0^2}$

$\sf \sqrt{c^2+9}+\sqrt{c^2+9}=\sqrt{(5-c)^2}+\sqrt{(c+5)^2}$

$\sf 2\cdot\sqrt{c^2+9}=5-c+c+5$

$\sf 2\cdot\sqrt{c^2+9}=10$

$\sf \sqrt{c^2+9}=\dfrac{10}{2}$

$\sf \sqrt{c^2+9}=5$

$\sf (\sqrt{c^2+9})^2=5^2$

$\sf c^2+9=25$

$\sf c^2=25-9$

$\sf c^2=16$

$\sf c=\sqrt{16}$

$\sf c=4$

Logo, a distância focal dessa elipse é:

$\sf 2c=2\cdot4~\rightarrow~2c=8$

2) Os focos dessa elipse tem coordenadas $\sf F_1(2-c,2)$ e $\sf F_1(2+c,2)$

A soma das distâncias de qualquer ponto da elipse aos focos é constante

Sejam $\sf A(15,2)$ e $\sf B(2,7)$

Temos que:

$\sf \overline{AF_1}+\overline{AF_2}=\overline{BF_1}+\overline{BF_2}$

$\sf \sqrt{(2-c-15)^2+(2-2)^2}+\sqrt{(2+c-15)^2+(2-2)^2}=\sqrt{(2-c-2)^2+(2-7)^2}+\sqrt{(2+c-2)^2+(2-7)^2}$

$\sf \sqrt{(-c-13)^2+0^2}+\sqrt{(c-13)^2+0^2}=\sqrt{(-c)^2+(-5)^2}+\sqrt{c^2+(-5)^2}$

$\sf \sqrt{(-c-13)^2}+\sqrt{(c-13)^2}=\sqrt{c^2+25}+\sqrt{c^2+25}$

$\sf c+13-c+13=2\cdot\sqrt{c^2+25}$

$\sf 26=2\cdot\sqrt{c^2+25}$

Assim, $\sf 2a=26$

O eixo maior mede 26