Question

Seja um triangulo equilatero ABC de area igual a 16√3 m² e um quadrado DEFG. Sabendo que ma das duas diagonais de DEFG é igual a uma das alturas de ABC, calcule, em M², a area do quadrado de DEFG. 

Answer 1

Utilizando a fórmula da área do triângulo equilátero, podemos descobrir o lado do triângulo do enunciado:

$A_{\triangle equilatero}=\dfrac{\ell^{2}_{3}\sqrt{3}}{4}$

$16\sqrt{3}=\dfrac{\ell^{2}_{3}\sqrt{3}}{4}$

$\ell^{2}_{3}=64$

$\ell_{3}=8\;m$

Agora podemos calcular a altura deste triângulo através da fórmula:

$h=\dfrac{\ell_{3}\sqrt{3}}{2}$

$h=\dfrac{8\sqrt{3}}{2}$

$h=4\sqrt{3}\;m$

O problema nos diz que a altura do triângulo equilátero é igual à diagonal do quadrado, então:

$d_{4}=h$

$d_{4}=4\sqrt{3}\;m$

Utilizando a fórmula da diagonal do quadrado, podemos descobrir o lado do quadrado DEFG:

$d_{4}=\ell_{4}\sqrt{2}$

$4\sqrt{3}=\ell_{4}\sqrt{2}$

$\ell_{4}=\dfrac{4\sqrt{3}}{\sqrt{2}}=\dfrac{4\sqrt{3}}{\sqrt{2}}\times\dfrac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}}$

$\ell_{4}=\dfrac{4\sqrt{6}}{2}=2\sqrt{6}\;m$

Agora podemos calcular a área do quadrado:

$A_{DE{F}G}=\ell_{4}^{2}$

$A_{DE{F}G}=(2\sqrt{6})^{2}$

$A_{DE{F}G}=4\times6$

$A_{DE{F}G}=24\;m^{2}$

$Resposta$: A área do quadrado $DE{F}G$ é $24m^{2}$