Question

Seja um triângulo, com um lado medindo 4 e outro lado medindo 6, escolhido ao acaso. A probabilidade de que sua área seja maior que 6 é:

Answer 1

Utilizando definições de área e probabilidade, temos que a probabilidade deste triangulo ter área maior que 6 é de 2/3, ou 66,6%.

Explicação passo-a-passo:

Existe uma formula que nos diz a área de um triangulo com base em dois lados x e y e o angulo entre eles θ, que é dada por:

$A=\frac{x.y}{2}.sen(\theta)$

Assim, temos que a área deste triangulo é de:

$A=\frac{4.6}{2}.sen(\theta)$

$A=\frac{24}{2}.sen(\theta)$

$A=12.sen(\theta)$

E nós queremos que essa área seja maior que 6, então:

$12.sen(\theta)>6$

$sen(\theta)>\frac{6}{12}$

$sen(\theta)>\frac{1}{2}$

Assim, queremos que o seno deste angulo seja maior que 1/2, assim basta analisarmos um pouco.

Sabemos que o angulo entre dois lados de um triangulo não pode ser menor que 0, se não, não faria sentido. Sabemos também que o maximo que um angulo entre dois lado pode ser é de 180º graus, se não ele formaria um triangulo para o outro lado.

Assim temos que ao todo, só podem haver angulos de 0 a 180º, e os únicos angulos que tem seno maior que 1/2, são aquelas que estão depoisde 30º e antes de 150º, ou seja, temos 120º entres esses dois angulos, dentre todos os 180º que podem existir para triangulos, assim nossa probabilidade é:

$P=\frac{120}{180}$

$P=\frac{2}{3}$

Assim a probabilidade deste triangulo ter área maior que 6 é de 2/3, ou 66,6%.