Question

Seja um plano π determinado pelos pontos A(2,-1,1), B(2,1,-1) e C(-3,2,2) e sejam as seguintes afirmativas:

I - Os vetores AB−→− e AC−→− são paralelos ao plano π;

II- Uma equação vetorial deste plano é π:(x,y,z)=A+tAB−→−+hAC−→−;t,h∈R;

III- A equação 8x+10y+10z+5=0 é uma equação geral de π;

Então é correto afirmar:

Escolha uma:
a. As afirmativas II e III são corretas;
b. As afirmativas I e III são corretas;
c. Apenas a alternativa II é correta;
d. As afirmativas I e II são corretas;

Answer 1

Temos os seguintes pontos pertencentes ao plano:

A(2, -1, 1), B(2, 1, -1) e C(-3, 2, 2)

Fazendo os vetores desses pontos, poderemos achar o vetor normal pelo produto vetorial dos vetores encontrados:

AB=(0, 2, -2) e AC=(-5, 3, 1)

                  | i      j      k   |  i      j  |
(ABxAC) = | 0    2     -2  | 0     2  | = 8i + 10j + 10k = n=(8,10,10)
                  | 5    3      1  |  5    3  |

Com a equação cartesiana do plano π, substituindo os valores, teremos:

ax+by+cz+d=0
8x+10y+10z+d=0

Substituindo os valores de qualquer ponto pertencente ao plano π, encontraremos o valor de d.

Substituirei o valor do ponto A(2, -1, 1)

8x+10y+10z+d=0
8*2+10*(-1)+10*1+d=0
d=-16

Substituindo o valor de d na equação do plano π encontrada:

8x+10y+10z+d=0
8x+10y+10z-16  ---> Essa é a equação geral do plano π.

Se os pontos A, B e C são pertencentes ao plano, os vetores formados por esses pontos são pertencentes ao plano também, são vetores coplanares e paralelos ao plano π.

A equação paramétrica do plano é dada por:

(x, y, z)= (xo, yo, zo) + h(a1, b1, c1) + t(a2, b2, c2)

Onde, (xo,yo,zo) são pontos pertencentes ao plano, (a1,b1,c1) são vetores pertencentes ao plano, (a2,b2,c2) analogamente também são vetores pertencentes ao plano, h e t são parâmetros.

Logo, substituindo os valores de um ponto e dois vetores, teremos:

A(2, -1, 1), AB=(0, 2, -2) e AC=(-5, 3, 1)

(x, y, z)= A + AB*h + AC*t