Question

Seja um plano definido pela função z = x + 2y, em relação a essa função pede-se:

​a) Sua interseção com o plano xz;
b) Sua interseção com o plano yz;
c) Qual superfície o gráfico dessa função gerará;
d) Determine o valor da integral.

Answer 1

A interseção com o plano xz é a reta (t,0,t); A interseção com o plano yz é a reta (0,t,2t); A superfície do gráfico é um plano; O valor da integral é 11/2.

a) O plano xz é o plano y = 0.

Sendo assim, temos que:

z = x + 2.0

z = x.

Considere que x = y = t. Note que o ponto (0,0,0) pertence a ambos os planos.

Portanto, a interseção será a reta cujas equações paramétricas são:

{x = t

{y = 0

{z = t.

b) O plano yz é o plano x = 0. Então:

z = 0 + 2y

z = 2y.

Considerando y = t, temos que z = 2t. Assim, a interseção é a reta de equações paramétricas:

{x = 0

{y = t

{z = 2t.

c) A função z = x + 2y é um plano, porque a equação é da forma ax + by + cz = d.

d) Calculando a integral dupla, obtemos:

$\int\limits^2_1 \int\limits^3_2 {x+2y} \, dxdy = \int\limits^2_1 {\frac{x^2}{2}+2xy} \, dy$

Aplicando os limites de integração em x:

$\int\limits^2_1 \int\limits^3_2 {x+2y} \, dxdy = \int\limits^2_1 {2y+\frac{5}{2}} \, dy$

$\int\limits^2_1 \int\limits^3_2 {x+2y} \, dxdy=y^2+\frac{5y}{2}$.

Aplicando os limites de integração e y:

$\int\limits^2_1 \int\limits^3_2 {x+2y} \, dxdy=\frac{11}{2}$.