Question

Seja
um número real tal que:

6
∫ (x + c/x^2 − 9x + 20)dx = 15ln (2) − 7ln(3).
7


Digite o valor de c.

Qual o passo a passo dessa questão?

Answer 1

Temos a seguinte integral:

$\bullet \: \sf \int\limits_{6}^{7} \frac{x + c}{x {}^{2} - 9x + 20 } dx \: = \: 15 \ln(2) - 7 \ln(3)$

A questão pede para determinarmos o valor da constante c desconhecida. Para fazer isso, vamos primeiro ter que resolver essa integral passo a passo, pelo método das frações parciais.

$\sf \frac{x + c}{(x - 5).(x - 4)} = \frac{A }{(x - 5)} + \frac{ B}{(x - 4)} \\ \\ \sf \frac{x + c}{ \cancel{( x - 5).(x - 4)}} = \frac{A.(x - 4) + B.(x - 5)}{ \cancel{(x - 5).(x - 4)}} \\ \\ \sf x + c = A.(x - 4) + B.(x - 5) \\ \\ \sf x + c = Ax - 4A + Bx - 5 B \\ \\ \begin{cases} \sf A + B = 1 \\ \sf -4A - 5 B = c \end{cases}$

Resolvendo o sistema gerado:

$\begin{cases}\sf A + B = 1 \: \: \to \: \: A = 1 - B \\ \sf - 4A - 5 B = c \end{cases} \\ \\ \sf - 4.(1 - B) - 5 B = c \\ \sf - 4 + 4 B - 5 B = c \\ \sf - 4 - B = c \\ \sf B = - c - 4 \\ \\ \sf A = 1 - B \\ \sf A = 1 - ( - c - 4) \\ \sf A = c + 5$

Substituindo estas informações na fração da integral, temos então que:

$\sf \int\limits_{6}^{7} \frac{c + 5}{x - 5} + \frac{ - c - 4}{x - 4} dx \: \to \: \int\limits_{6}^{7} \frac{c + 5}{x - 5} dx + \int\limits_{6}^{7} \frac{ - c - 4}{x - 4} dx \\ \\ \sf (c + 5). \int\limits_{6}^{7} \frac{1}{x - 5} dx + ( - c - 4). \int\limits_{6}^{7} \frac{1}{x - 4} dx$

Para facilitar o entendimento, vamos resolver estas integrais mais simples separadamente.

• Primeira integral:

$\: \: \: \: \: \: \: \sf\int\limits_{6}^{7} \frac{1}{x - 5} dx = \ln( |x - 5| ) \bigg | _{6}^{7} \\ \: \: \: \: \: \: \sf \ln( |7 - 5| ) - \ln( |6 - 5| ) = \sf \ln(2)$

• Segunda integral:

$\: \: \: \: \: \: \: \sf\int\limits_{6}^{7} \frac{1}{x - 4} dx = \ln( |x - 4| ) \bigg | _{6}^{7} \\ \: \: \: \: \: \: \sf \ln( |7 - 4| ) - \ln( |6 - 4| ) = \sf \ln(3) - \ln(2)$

Substituindo os resultados obtidos e igualando isto ao resultado que é informado na questão.

$\sf (c + 5). \ln(2) + ( - c - 4).( \ln(3) - \ln(2)) = 15ln(2) - 7ln(3) \\ \\ \sf c. \ln(2) + 5 \ln(2) - c \ln(3) - 4 \ln(3) + c. \ln(2) + 4 \ln(2) = 15 \ln(2) - 7 \ln(3) \\ \\ \sf 2c \ln(2) + 9 \ln(2) -c \ln(3) - 4 \ln(3) = 15ln(2) - 7 ln(3) \\ \\ \sf 2c \ln(2) - c \ln(3) = 6 \ln(2) - 3 \ln(3) \\ \\ \sf c.[2 \ln(2) - \ln(3)] = 6ln(2) - 3ln(3) \\ \\ \sf c = \frac{6ln(2) - 3ln(3)}{2ln(2) - ln(3)} \: \: \to \: \: \sf c = \frac{ln(64) - ln(27)}{ln(4) - ln(3)} \\ \\ \sf c = \frac{ ln \left( \frac{64}{27} \right) }{ \ln \left( \frac{4}{3} \right)} \: \: \to \: \: \boxed{\sf c = 3}$

Espero ter ajudado