Seja um número natural n diferente de zero só mandou ser uma unidade a n, ele passa a ser divisível por 6 e subtraído uma unidade de n, ele passa a ser divisível por 7, qual valor possível para ñ
Soluções para a tarefa
Correção ao enunciado:
Seja um número natural N, diferente de zero. Somando-se uma unidade a N, ele passa a ser divisível por 6 e subtraindo uma unidade de N, ele passa a ser divisível por 7. Qual o valor possível para N?
Resposta: N = 42q + 29, com q ∈ ℕ, sendo N = 29 o menor valor natural possível.
Explicação passo a passo:
De acordo com o enunciado, existem inteiros tais que
Igualando as duas equações, devemos ter
Esta é uma equação diofantina linear de duas variáveis, e tem solução, pois
mdc(6, 7) = 1 e 1 | 2.
Utilizando o algoritmo de Euclides, podemos escrever
Então, temos
Multiplicando os dois lados por 2, obtemos
Logo, o par é uma solução para a equação (iii).
Para encontrarmos a solução geral, vamos somar e subtrair um múltiplo comum e 6 e 7. Como mmc(6, 7) = 42, temos
A solução geral é
Substituindo em uma das equações para o número N, temos
O menor valor possível para N natural é obtido para q = 1:
Obs.: Essa tarefa também pode ser resolvida usando o Teorema Chinês dos Restos aplicado ao sistema de congruências lineares abaixo:
que possui solução, pois mdc(6, 7) = 1.
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