Question

Seja um número natural N, diferente de 0 e subtraindo-se uma unidade de N, ele passa a ser divisível por 6 e subtraindo uma unidade de N, ele passa a ser divisível por 7. Qual o menor valor possível para N?

Answer 1

Correção ao enunciado:

Seja um número natural N, diferente de zero. Somando-se uma unidade a N, ele passa a ser divisível por 6 e subtraindo uma unidade de N, ele passa a ser divisível por 7. Qual o menor valor possível para N?

Resposta:   N = 29.

Explicação passo a passo:

De acordo com o enunciado, existem $k_1,\,k_2$ inteiros tais que

     $\left\{\begin{array}{l} N+1=6k_1\\\\ N-1=7k_2\end{array}\right.\\\\ \Longleftrightarrow\quad \left\{\begin{array}{lc} N=6k_1-1&\quad\mathrm{(i)}\\\\ N=7k_2+1&\quad\mathrm{(ii)}\end{array}\right.$

Igualando as duas equações, devemos ter

     $6k_1-1=7k_2+1\\\\ \Longleftrightarrow\quad 6k_1-7k_2=1+1\\\\ \Longleftrightarrow\quad 6k_1-7k_2=2\qquad\mathrm{(iii)}$

Esta é uma equação diofantina linear de duas variáveis, e tem solução, pois

     mdc(6, 7) = 1   e   1 | 2.

Utilizando o algoritmo de Euclides, podemos escrever

     $7=6+1\quad\Longleftrightarrow\quad 1=-6+7$

Então, temos

     $6\cdot (-1)-7\cdot (-1)=1$

Multiplicando os dois lados por 2, obtemos

     $6\cdot (-2)-7\cdot (-2)=2$

Logo, o par $(k_1,\,k_2)=(-2,\,-2)$ é uma solução para a equação (iii).

Para encontrarmos a solução geral, vamos somar e subtrair um múltiplo comum e 6 e 7. Como mmc(6, 7) = 42, temos

     $\Longleftrightarrow\quad 6\cdot (-2)+42q-42q-7\cdot (-2)=2\\\\ \Longleftrightarrow\quad 6\cdot(-2+7q)-7\cdot (6q-2)=2$

A solução geral é

     $(k_1,\,k_2)=(-2+7q,\,6q-2),\qquad\mathrm{com~}q\in\mathbb{Z}.$

Substituindo em uma das equações para o número N, temos

     $\Longrightarrow\quad N=6\cdot (-2+7q)-1\\\\ \Longleftrightarrow\quad N=-12+42q-1\\\\ \Longleftrightarrow\quad N=42q-13,\qquad\mathrm{com~}q\in\mathbb{Z}.$

O menor valor possível para N natural é obtido para q = 1:

     $\Longrightarrow\quad N=42\cdot (1)-13\\\\ \Longleftrightarrow\quad N=42-13\\\\ \Longleftrightarrow\quad N=29\quad\longleftarrow\quad\mathsf{resposta.}$

Obs.: Essa tarefa também pode ser resolvida usando o Teorema Chinês dos Restos aplicado ao sistema de congruências lineares abaixo:

     $\left\{\begin{array}{lc} N\equiv -1&\quad(\mathrm{mod~}6)\\\\ N\equiv 1&\quad(\mathrm{mod~}7)\end{array}\right.$

que possui solução, pois mdc(6, 7) = 1.

Dúvidas? Comente.

Bons estudos! :-)