Question

Seja um corpo de 0,4 kg ligado a uma mola de constante de força de 12 N/m, oscilando com a amplitude de 8 cm. Calcule (a) a velocidade máxima do corpo, (b) os módulos da velocidade e da aceleração do corpo quando estiver na posição x = 4 cm em relação à posição de equilíbrio x=0 e (c) o tempo que o corpo leva para ir de x = 0 até x = 4 cm.

Resp.: a) 0,438 m/s; (b) 0,379 m/s e 1,2 m/s2; (c) 0,0956 s

Estou tentando fazer essa questão a algum tempo e até agora não consigo descobrir como encontrar a velocidade na letra b).

Answer 1

Explicação:

Olá, tudo bem? Então amigo, vc deve usar os seguintes passos. Primeiro vc deve lembrar que o oscilador massa-mola descreve um MHS e, portanto, podemos usar a seguinte equação para posição:

x(t) = A \sin(ωt+ϕ_{0})

Se derivarmos essa expressão em relação ao tempo, podemos obter a velocidade e aceleração, obtendo:

v(t) = ωA \cos(ωt+ϕ_{0})

a(t) = - A {ω}^{2} \sin(ωt+ϕ_{0})

Mas o termo Asin(ωt+ϕ0) é x(t). Assim:

a(t) = - {ω}^{2} x(t)

Considerando que não há dissipação de energia, a energia mecânica em qualquer ponto do sistema é dada por:

$E_{m} = \frac{1}{2} m {v}^{2} + \frac{1}{2} k {x}^{2}$

Quando o corpo passa no ponto x=0 a velocidade é máxima (o que vc já encontrou). Assim:

$E_{m} = \frac{1}{2} 0.4 \times {(0.438)}^{2} + \frac{1}{2} 12 \times {0}^{2}$

Isso irá da aproximadamente 0,0384 J. Como essa energia é constante, podemos usar a mesma fórmula para o ponto x=0,04m e substituir os valores, aí vamos ter:

$0.0384 = 0.2 \times {v}^{2} + 0.0096 \\ {v}^{2} = 0.144 \\ v = \: 0.379 \: m /s$

Adotei apenas a solução positiva pq ele pediu o módulo. Para aceleração é só usar a expressão que relaciona a com x. Assim:

$a = - {ω}^{2} x \\ a = - {( \sqrt{30}) }^{2} \times 0.04 \\ a = - 1.2 m / {s}^{2}$

Como ele quer o módulo, teremos 1,2 m/s². Espero ter ajudado.