Question

Seja um cilindro reto, de altura h e raio de base igual a 1 metro. Se a área total do cilindro é equivalente ao quádruplo da área de um circulo que tem como diâmetro a mesma medida da altura do cilindro, então o valor de h, em metros, será

Answer 1

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•   altura do cilindro reto:  $\mathsf{h;}$

•   raio da base:  $\mathsf{r=1~m;}$


A área total do cilindro é a soma da área lateral com as áreas das duas bases, e é dada por:

$\mathsf{A_t=A_\ell+ 2\cdot A_b}\\\\ \mathsf{A_t=2\pi rh+ 2\cdot \pi r^2}\\\\ \mathsf{A_t=2\pi r\cdot (h+r)}\quad\longleftarrow\quad\textsf{\'area total do cilindro}\qquad\mathsf{(i)}$


A área do círculo que tem como diâmetro a mesma altura do cilindro é dada por:

$\mathsf{A_c=\pi \cdot \left(\dfrac{h}{2}\right)^{\!2}}\\\\\\ \mathsf{A_c=\dfrac{\pi h^2}{4}\qquad\qquad(ii)}$


De acordo com as informações do enunciado, devemos ter

$\mathsf{A_t=4\cdot A_c}\\\\ \mathsf{2\pi r\cdot (h+r)=\diagup \hspace{-7} 4\cdot \dfrac{\pi h^2}{\diagup \hspace{-7} 4}}\\\\\\ \mathsf{2\pi r\cdot (h+r)=\pi h^2}\\\\ \mathsf{2\diagup \hspace{-7}\pi \cdot 1\cdot (h+1)=\diagup \hspace{-7}\pi \cdot h^2}\\\\ \mathsf{2\cdot (h+1)=h^2}$

$\mathsf{2h+2=h^2}\\\\ \mathsf{0=h^2-2h-2}\\\\ \mathsf{h^2-2h-2=0}\quad\longrightarrow\quad\left\{\!\begin{array}{l} \mathsf{a=1}\\\mathsf{b=-2}\\\mathsf{c=-2} \end{array}\right.$


$\mathsf{\Delta=b^2-4ac}\\\\ \mathsf{\Delta=(-2)^2-4\cdot 1\cdot (-2)}\\\\ \mathsf{\Delta=4+8}\\\\ \mathsf{\Delta=12}\\\\ \mathsf{\Delta=2^2\cdot 3}$


$\mathsf{h=\dfrac{-b\pm \sqrt{\Delta}}{2a}}\\\\\\ \mathsf{h=\dfrac{-(-2)\pm \sqrt{2^2\cdot 3}}{2\cdot 1}}\\\\\\ \mathsf{h=\dfrac{2\pm 2\sqrt{3}}{2}}\\\\\\ \mathsf{h=\dfrac{\diagup\hspace{-7} 2\cdot (1\pm \sqrt{3})}{\diagup\hspace{-7} 2}}\\\\\\ \mathsf{h=1\pm \sqrt{3}}$

$\begin{array}{rcl} \mathsf{h=1+\sqrt{3}}&\textsf{ ou }&\mathsf{h=1-\sqrt{3}}\quad\textsf{(n\~ao serve, pois }\mathsf{h\ \textgreater \ 0}\textsf{)}\\\\\\ &\boxed{\begin{array}{c}\mathsf{h=1+\sqrt{3}~m} \end{array}}&\quad\longleftarrow\quad\textsf{esta \'e a resposta.} \end{array}$



Bons estudos! :-)


Tags:  cilindro reto área lateral base total círculo geometria espacial