Question

Seja θ um ângulo agudo tal que sen θ cos θ = 0,3.
Então tg θ é igual a:

Answer 1

Olá,

Para facilitar a escrita, chamarei teta de x.

Existe uma relação trigonométrica que diz o seguinte:

$sen(2x)=2senx.cosx$

Sabemos que senx.cosx=0,3, logo 2.senx.cosx=0,6.

Usando a relação acima teremos que sen(2x)=0,6.

Chamaremos esse angulo 2.x de y.

Usando o auxilio de uma calculadora científica ou tabela, teremos que o arco-seno de 0,6 = 36,86989764584402°. Logo nosso angulo y tem esse valor.

y=2.x, logo x= 18,43494882292201°

Conhecendo o ângulo x basta usar novamente uma calculadora ou tabela e identificar que a tangente desse angulo é: tg 18,43494882292201 = 0,3333... ou simplesmente 1/3.

Resposta: Letra E) 1/3.

Answer 2

Resposta:

Sabemos que

$sen( \alpha ) .cos( \alpha ) = 0.3$

Da fórmula do seno da soma, segue que

$sen( \alpha + \alpha ) = sen( \alpha ) \cos( \alpha ) + sen( \alpha ) \cos( \alpha ) \\ sen( 2 \alpha ) = 2.sen( \alpha ) \cos( \alpha )$

Daí temos

$sen( 2 \alpha ) = 2 \times 0.3 \\ sen( 2 \alpha ) =0.6$

Vamos agora encontrar o cosseno a partir do que já temos disponível.

$sen( \beta )^{2} + \cos( \beta ) ^{2} = 1 \\ sen( 2 \alpha )^{2} + \cos( 2 \alpha ) ^{2} = 1 \\ (0.6)^{2} + \cos( 2\alpha )^{2} = 1 \\ 0.36+ \cos( 2\alpha )^{2} = 1 \\ cos( 2\alpha )^{2} = 1 - 0.36 \\ cos( 2\alpha )^{2} =0.64 \\ cos( 2\alpha ) = 0.8$

Com essas informações podemos obter:

$\tan( 2\alpha ) = \frac{sen(2 \alpha )}{ \cos( 2\alpha ) } \\ \\ \tan( 2\alpha ) = \frac{0.6}{0.8} = \frac{6}{8} = \frac{3}{4}$

No entendo queremos saber

$\tan( \alpha )$

E não

$\tan(2 \alpha )$

Para descobrir o que desejamos, utilizaremos a fórmula da tangente da soma

$\tan( \alpha + \alpha ) = \frac{ \tan( \alpha ) + \tan( \alpha ) }{1 - \tan( \alpha ) . \tan( \alpha ) } \\ \\ \tan(2 \alpha ) = \frac{2. \tan( \alpha ) }{1 - { \tan( \alpha ) }^{2} }$

Com isso

$\frac{3}{4} = \frac{2. \tan( \alpha ) }{1 - { \tan( \alpha ) }^{2} } \\ \\ 3 \times (1 - \tan( \alpha )^{2} ) = 4 \times (2. \tan( \alpha ) ) \\ \\ 3 - 3 \tan( \alpha )^{2} = 8 \tan( \alpha ) \\ \\ 3tan( \alpha )^{2} + 8 \tan( \alpha ) - 3 = 0$

Fazendo uma substituição de variáveis para ficar mais agradável, temos que

$x = \tan( \alpha )$

Daí

$3x ^{2} + 8x - 3 = 0$

Resolvendo essa equação do segundo grau, obtemos os seguintes valores

$x = \frac{1}{3} \: ou \: x = - 3$

Porém o ângulo tratado na questão é agudo, ou seja, tanto o seno, quanto o cosseno estão no primeiro quadrante e assumem valores positivos, assim a tangente que é a divisão do seno pelo cosseno também será um valor positivo, logo a resposta a ser considerada é

$x = \frac{1}{3}$

Alternativa correta, letra E.