Question

seja um anel de raio R é percorrido por uma corrente elétrica I calcule o vetor campo magnético ao longo do eixo do anel medido em um ponto P qualquer pertence a esse eixo distando Z do centro do anel em coordenadas cilíndricas​

Answer 1

Relizando a integral em coordenadas cilindricas, temos que nossa campo magnetico é dado por:

$B=\frac{\mu_0.I}{2}\frac{R}{(z^2+R^2)^{\frac{3}{2}}}$

Explicação:

Para calcularmos esta campo, basta utilizarmos a lei de Bio-Savart, que é dado pela seguinte formula:

$dB=\frac{\mu_0.I}{4\pi}\frac{\vec{dl}\times \vec{r}}{r^3}$

Então basta integrarmos em relação a esta distancia ao ponto z, que se você pensar em um triangulo retangulo, a distancia deste anel até qualquer ponto z do eixo é de:

$r=\sqrt{z^2+R^2}$

Então substituindo na integral:

$dB=\frac{\mu_0.I}{4\pi}\frac{\vec{dl}\times \vec{r}}{r^3}$

$dB=\frac{\mu_0.I}{4\pi}\frac{dl.(x,y,z)}{(\sqrt{z^2+R^2})^3}$

$dB=\frac{\mu_0.I}{4\pi}\frac{dl}{(z^2+R^2)^{\frac{3}{2}}}$

Note que eu peguei um vetor em três dimensões em transformei em somente na componente z, pois os componentes em x e y serão anulados durante a integral por simetria.

E podemos também escrever o elemento infinitesimal de anel dl em função do angulo, pois ele é:

$dl=R.d\theta$

Então temos que:

$dB=\frac{\mu_0.I}{4\pi}\frac{dl}{(z^2+R^2)^{\frac{3}{2}}}$

$dB=\frac{\mu_0.I.R}{4\pi}\frac{d\theta}{(z^2+R^2)^{\frac{3}{2}}}$

Agora basta integrar em coordenadas cilindricas:

$B=\frac{\mu_0.I.R}{4\pi}\int_{0}^{2\pi}\frac{d\theta}{(z^2+R^2)^{\frac{3}{2}}}$

Note que só integramos no angulo, pois o raio é constante:

$B=\frac{\mu_0.I.R}{4\pi}\int_{0}^{2\pi}\frac{d\theta}{(z^2+R^2)^{\frac{3}{2}}}$

$B=\frac{\mu_0.I.R}{4\pi}.2\pi\frac{1}{(z^2+R^2)^{\frac{3}{2}}}$

$B=\frac{\mu_0.I}{2}\frac{R}{(z^2+R^2)^{\frac{3}{2}}}$

E este é o campo magnetico para qualquer ponto do eixo z:

$B=\frac{\mu_0.I}{2}\frac{R}{(z^2+R^2)^{\frac{3}{2}}}$