Question

Seja u e V vetores unitários e perpendiculares entre si . demonstrar que ||u x v||=1.

Answer 1

Olá, Thayara.

O produto vetorial é definido pela seguinte expressão:
${\displaystyle \mathbf {u} \times \mathbf {v} =\mathbf {\hat {n}} \left|\mathbf {u} \right|\left|\mathbf {v} \right|\text{sen}\,\theta }$,
onde θ é a medida do ângulo entre u e v (0° ≤ θ ≤ 180°) no plano definido pelos dois vetores e ${\displaystyle \mathbf {\hat {n}} }$  é o vetor unitário perpendicular tanto a u quanto a v.

Como u e v, neste caso, são unitários, então |u| = |v| = 1.
Como u e v são perpendiculares entre si, então sen θ = sen 90º = 1.
Temos, então, que: 

${\displaystyle \mathbf {u} \times \mathbf {v} =\mathbf {\hat {n}} \left|\mathbf {u} \right|\left|\mathbf {v} \right|\text{sen}\,\theta } = \mathbf{ \hat n}\cdot1\cdot1\cdot1 = \mathbf{ \hat n}$

Portanto, || u × v || = || $\mathbf{ \hat n}$ || = 1, como queríamos demonstrar, pois $\mathbf{ \hat n}$ também é unitário.