Question

Seja $T : R^3$ ⇒ $R^3$ a aplicação dada por:

$T(x,y,z) = (x,x,0)$

1) Mostre que T é uma transformação Linear;

2) Determine o Núcleo de T, o que este representa geometricamente?

3) Determine o conjunto Imagem de T, o que este representa geometricamente?


Obrigada.

Answer 1

Explicação passo-a-passo:

1) T(x,y,z)=(x,x,0)

Para ser uma transformação linear, temos que provar que:

T(u+av)=T(u)+aT(v)

Usando os vetores:

u=(x1,x2,x3)

v=(y1,y2,y3)

Substituindo:

T(u+av)=T((x1,x2,x3)+a(y1,y2,y3))=T(x1+ay1,x2+ay2,x3+ay3)=(x1+ay1,x1+ay1,0)=

(x1,x1,0)+a(y1,y1,0)=T(x1,x2,x3)+aT(y1,y2,y3)=T(u)+aT(v)

Logo é uma transformação linear.

2) T(x,y,z)=(x,x,0)

O núcleo é:

T(x,y,z)=(0,0,0)

(x,x,0)=(0,0,0)

Logo,

x=0

Então,

T(0,y,z)=(0,0,0)

Qualquer vetor no formato (0,y,z) está no Núcleo, ou seja,

NucT={(x,y,z) em R³; x=0}

Geometricamente isso representa: está no plano x=0, ou seja, é um plano formado pelas coordenadas y e z.

3) T(x,y,z)=(x,x,0)

O conjunto imagem são os elementos que possuem a forma (x,x,0).

ImT={(x,y,z) em R³; x=y e z=0}

Geometricamente temos que x=y e z=0, logo é a reta x=y.