Question

Seja $\mathsf{A_{n}}$ a área de um polígono regular de n lados, isto é

$\bullet\,\,\mathsf{n=3\,\,\Longrightarrow\,\,A_{3}\,\,\'e\,\,a\,\,\'area\,\,de\,\,um\,\,tri\^angulo\,\,equil\'atero}\\\\\bullet\,\,\mathsf{n=4\,\,\Longrightarrow\,\,A_{4}\,\,\'e\,\,a\,\,\'area\,\,de\,\,um\,\,quadrado}\\\\\vdots$

Podemos imaginar um círculo como um "polígono de infinitos lados", logo sua área pode ser definida por

$\mathsf{A_{circ}:=\lim\limits_{n\to\infty}A_{n}}$

Considere um círculo de raio r e polígonos regulares inscritos nesse círculo, de modo que $\mathsf{A_{n}}$ represente a área do polígono regular de n lados inscrito no círculo. Mostre, via limites, que

$\mathsf{A_{circ}=\lim\limits_{n\to\infty}A_{n}=\pi r^{2}}$.


Dica: Encontre uma fórmula geral para $\mathsf{A_{n}}$

Obs: O limite fundamental pode ser utilizado

$\mathsf{\lim\limits_{x\to0}\dfrac{sen\,x}{x}=1\,\,\,ou\,\,\,\lim\limits_{x\to x_{0}}\dfrac{sen\big(f(x)\big)}{f(x)}=1}$

Se f é uma função derivável com f(x₀) = 0.

Answer 1

Considere um polígono regular de n lados (n > 2).

Sabemos que devido à simetria do polígono regular, existe uma circunferência de raio r que circunscreve o polígono.

Todo polígono regular de n lados pode ser decomposto em n triângulos isósceles congruentes, com vértices no centro da circunferência que o circunscreve, e bases sobre cada um de seus lados.

Cada um dos triângulos isósceles terá o ângulo do vértice medindo  $\mathsf{\theta=\dfrac{2\pi}{n}}$  radianos, e os seus lados congruentes coincidirão com raios da circunferência, cada um com medida r.


A área de cada triângulo isósceles é

     $\mathsf{A_{\triangle}=\dfrac{1}{2}\cdot r\cdot r\cdot sen\,\theta}\\\\\\ \mathsf{A_{\triangle}=\dfrac{r^2}{2}\,sen\left(\dfrac{2\pi}{n}\right)}$


Então, a área do polígono regular será

     $\mathsf{A_n=n\cdot A_{\triangle}}\\\\\\ \mathsf{A_n=n\cdot \dfrac{r^2}{2}\,sen\!\left(\dfrac{2\pi}{n}\right)}\\\\\\ \boxed{\begin{array}{c}\mathsf{A_n=\dfrac{nr^2}{2}\,sen\!\left(\dfrac{2\pi}{n}\right)} \end{array}}$


Segue que a área do círculo é

     $\mathsf{A_{circ.}=\underset{n\to \infty}{lim}~A_n}\\\\\\ \mathsf{A_{circ.}=\underset{n\to\infty}{lim}~\dfrac{nr^2}{2}\,sen\!\left(\dfrac{2\pi}{n}\right)}\\\\\\ \mathsf{A_{circ.}=\underset{n\to\infty}{lim}~\dfrac{\pi nr^2}{2\pi}\,sen\!\left(\dfrac{2\pi}{n}\right)}\\\\\\ \mathsf{A_{circ.}=\pi r^2\cdot \underset{n\to\infty}{lim}~\dfrac{n}{2\pi}\,sen\!\left(\dfrac{2\pi}{n}\right)}\\\\\\ \large\begin{array}{l}\mathsf{A_{circ.}=\pi r^2\cdot \underset{n\to\infty}{lim}~\dfrac{sen\!\left(\frac{2\pi}{n}\right)}{\frac{2\pi}{n}}}\end{array}$


Para calcular o limite da sequência acima, recorremos à função de variável real x associada a ela. Se o limite da função nos reais existe, então o limite da sequência também existe e terá o mesmo valor do limite da função.

     $\large\begin{array}{l}\mathsf{A_{circ.}=\pi r^2\cdot \underset{x\to\infty}{lim}~\dfrac{sen\left(\frac{2\pi}{x}\right)}{\frac{2\pi}{x}}}\end{array}$


Fazendo uma mundança de variável:

     $\mathsf{u=\dfrac{2\pi}{x}}$

temos que $\mathsf{u\to 0^+}$ quando $\mathsf{x\to \infty.}$


Então, a expressão para a área do círculo fica

     $\mathsf{A_{circ.}=\pi r^2\cdot \underset{u\to 0^+}{lim}~\dfrac{sen\,u}{u}}\\\\\\ \mathsf{A_{circ.}=\pi r^2\cdot 1}$

     $\mathsf{A_{circ.}=\pi r^2}$        ✔

como queríamos mostrar.


Dúvidas? Comente.


Bons estudos! :-)