Question

Seja $\large\displaystyle\begin{gathered}f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}\end{gathered}$ uma função de classe $\large\displaystyle\begin{gathered}C^{\infty}\end{gathered}$
Sabendo que
$\large\displaystyle\begin{aligned}&f(0) = 1\\ &f(1) = e^3+1\\&f'(0) = 4\\&f'(1) = 3e^3+1\end{aligned}$
E por fim
$\large\displaystyle\text{ \begin{aligned}\int_0^1 f(x)e^{-2x}\,dx = e - 1 - \frac{e^{-2}}{2} - \frac{e^{-2}}{4} + \frac{1}{4}\end{aligned} }$
Calcule
$\large\displaystyle\begin{aligned}\int_0^1 f''(x)e^{-2x}\,dx\end{aligned}$

Resposta:
$\large\displaystyle\begin{aligned}\int_0^1 f''(x)e^{-2x}\,dx = 9\left(e - 1\right)\end{aligned}$

Answer 1

• Calculando a integral de 0 até 1 de f(x) e^(-2x) temos como resposta 9(e-1).

Para resolver sua questão, devemos perceber que a questão deu:

$\large\displaystyle\text{ \begin{aligned}\bf \int_0^1 f(x)e^{-2x}\,dx = e - 1 - \frac{e^{-2}}{2} - \frac{e^{-2}}{4} + \frac{1}{4}\end{aligned} }$

e pede para calcularmos a integral de 0 até 1 do produto de funções f''(x) e^(-2x) dx. Lembre-se que a integral e o inverso da derivada, então, devemos aplicar a integração p/ partes. Dada por:

$\boxed{\bf \displaystyle\int udv= uv- \displaystyle\int vdu}$

e escolher o dv como f''(x) pois o v será a integral de f''(x) que é f'(x). Aplicando dnv sabendo que queremos o f(x), basta fazermos a mesma coisa, após isso iremos substituir os valores dados e calcular o que a questão quer. Logo:

 $\large\displaystyle\text{ \begin{aligned}\bf \int_0^1 f''(x)e^{-2x}\,dx = e^{-2x} f'(x)- \underbrace{\int_0^1 f'(x) -2e^{-2x}dx}_{integre\ de\ novo} \end{aligned} }$

$\large\displaystyle\begin{aligned} \bf f'(x) e^{-2x} \left.\right|_0^1 + 2\left[ f(x) e^{-2} \left.\right|_0^1 + 2 \int_0^1 f(x) e^{-2x} dx\right] \end{aligned}$

• Sabendo que:

$\begin{cases} \bf f'(x) e^{-2x} \left.\right|_0^1 = f'(1)e^{-2} - f'(0)\\\\ \bf f(x) e^{-2x} \left.\right|_0^1 = f(1) e^{-2} - f(0)\\\\ \large\displaystyle\text{ \begin{aligned}\bf \int_0^1 f(x)e^{-2x}\,dx = e - 1 - \frac{e^{-2}}{2} - \frac{e^{-2}}{4} + \frac{1}{4}\end{aligned} } \end{cases}$

• Substituindo, temos:

$\large\displaystyle\text{ \begin{aligned} \bf f'(1) e^{-2} - f'(0) + 2\left[ f(1) e^{-2} - f(0) +2 \left( e-1-\frac{e^{-2}}{2} - \frac{e^{-2}}{4} + \frac{1}{4} \right) \right] \end{aligned} }\Leftrightarrow$

$\large\displaystyle\begin{aligned} \bf f'(1)e^{-2} - f'(0) + 2f(1)e^{-2} - 2f(0) + 4e - 3 - 3e^{-2} \end{aligned}\Leftrightarrow$

$\large\displaystyle\begin{aligned}\bf (3e^{3} + 1 ) e^{-2} - 4 + 2 ( e^{3} + 1 )e^{-2} -2\cdot 1 + 4e - 3 -3e^{-2} \end{aligned}\Leftrightarrow$

$\large\displaystyle\text{ \begin{aligned} \bf 4e + 3e + 2e + \not{3e^{-2}} - \not{3e^{-2}} - 9 \end{aligned} }\Leftrightarrow$

$\large\displaystyle\begin{aligned}\bf \int_0^1 f''(x)e^{-2x}\,dx = 9e - 9\end{aligned}\Leftrightarrow$

$\Leftrightarrow \boxed{\boxed{\green{\large \displaystyle\begin{aligned}\bf \int_0^1 f''(x)e^{-2x}\,dx = 9(e-1)\end{aligned}}}}$

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Integrais p/parte.

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