Question

Seja $f(x)=x^{2} e^{3x}$ . Calcule a derivada correspondente

Answer 1

Resposta:

$\boxed{\bold{\displaystyle{f'(x)=2xe^{3x}+3x^2e^{3x}}}}$

Explicação passo-a-passo:

Olá, boa noite.

Seja a função $f(x)=x^2e^{3x}$. Para calcularmos sua derivada, devemos relembrar algumas técnicas de derivação.

Ao derivarmos ambos os lados, teremos:

$f'(x)=(x^2e^{3x})'$

O lado direito da igualdade é a derivada de um produto, logo lembrando que $(f(x)\cdot g(x))'=f'(x)\cdot g(x)+g'(x)\cdot f(x)$, temos

$f'(x)=(x^2)'\cdot e^{3x}+x^2\cdot(e^{3x})'$

Lembre-se que:

• A derivada de uma potência é calculada por: $(x^n)'=n\cdot x^{n-1}$.
• A derivada de uma função composta é calculada pela regra da cadeia: $(f(g(x)))'=g'(x)\cdot f'(g(x))$.
• A derivada da função exponencial é a própria função exponencial: $(e^x)'=e^x$.

Aplicando a regra da potência e a regra da cadeia, temos

$f'(x)=2\cdot x^{2-1}\cdot e^{3x}+x^2\cdot(3x)'\cdot e^{3x}$

Sabendo que $(a\cdot f(x))'=a\cdot f'(x)$, tal que $a$ é uma constante, aplique novamente a regra da potência e some os valores

$f'(x)=2\cdot x\cdot e^{3x}+x^2\cdot3e^{3x}\\\\\\ f'(x)=2xe^{3x}+3x^2e^{3x}$

Esta é a derivada desta função.