Question

Seja $\alpha$ um plano determinado pelos pontos A = (0, 0, 3), B = (1, 1, 3) e C = (2, 1, 3).

A distância entre os pontos P = (1 , 0, 1) e Q = (x, 0, 2), com x > 0 é $\sqrt{2}$.

Considere Q' a projeção ortogonal do ponto Q sobre o plano $\alpha$, e P' a projeção do ponto P sobre a segundo a direção do vetor v = 2 i + j + k.

Calcular a distância d entre os pontos P' e Q'.
Gabarito: $\sqrt{13}$

Answer 1

$\sf\large \boxed{\boxed{ d_{Q' ,P' } = \sqrt{13} }}$

Explicação

• Primeira Parte:

Para iniciar a resolução deste problema, é imprescindível que montemos a equação do plano. A questão nos dá 3 pontos que pertencem a este plano, sendo eles: A = (0, 0, 3), B = (1, 1, 3) e C = (2, 1, 3). A partir destes pontos, conseguimos montar a equação, já que podemos montar vetores.

Tomemos os Vetores AB e AC, dado por:

$A = (0, 0, 3), \: B = (1, 1, 3) \: e \: C = (2, 1, 3).</p><p> \\ \\ \bullet \: \vec{AB} = B - A = (1, 1, 0) \\ \bullet \: \vec{A C} = C - A = (2, 1, 0)$

Tendo os dois vetores que compõem o plano alfa, podemos gerar o vetor normal ao plano, realizando o produto vetorial entre estes dois uma vez que o produto vetorial entre dois vetores gera um terceiro que é ortogonal a ambos. Portanto:

$\vec{AB} \times \vec{A C} = \begin{bmatrix} i&j&k \\ 1&1&0 \\ 2&1&0\end{bmatrix} \: \to \: \vec{AB} \times \vec{A C} = 0i + 0j - 1k$

Para quase finalizar, basta supor que um ponto qualquer pertenca ao plano, como por exemplo o ponto L = (x ,y, z). A partir do mesmo, vamos montar um vetor com um dos três pontos informados na questão, no caso vou escolher o ponto A. Então tem-se que:

$\vec{AL} = L - A = (x - 1, \: y , \: z - 3)$

Agora basta substituir os dados na relação da equação cartesiana do plano.

$(\vec{AB} \times \vec{A C}) \: \cdot \: \vec{AL} = 0 \\ (0, 0, - 1) \cdot(x - 1, \: y , \: z - 3) = 0 \\ 0.(x - 1) + 0.y + ( - 1).(z - 3) = 0 \\ 0 + 0 - z + 3 = 0 \\ \boxed{ z = 3}$

Esta é a equação do plano alfa.

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• Segunda parte:

Agora vamos para a segunda parte, que é encontrar o valor de x do ponto Q. Como já sabemos que a distância é √2, vamos refazer o cálculo já substituindo esta informação.

$d_{Q,P} = \sqrt{(x_q - x_p)^2 + (y_q-y_p)^2+(z_q-z_p)^2}$

Substituindo os dados na relação acima.

$\sqrt{2 } = \sqrt{(x - 1) {}^{2} + (0 - 0) {}^{2} + (2- 1) {}^{2} } \\ \\ \sqrt{2 } = \sqrt{(x + 1) {}^{2} + 1} \: \: \to \: \: (x + 1) {}^{2} + 1= 2 \\ \\ (x + 1) {}^{2} = 1 \: \: \to \: \: x + 1 = \sqrt{1} \: \: \to \: \: x + 1 = 1 \\ \\ \boxed{ x = 2 }$

Então o ponto Q é Q(2,0,2).

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• Terceira parte:

Agora que temos todos o dados necessários, estamos aptos a encontrar o ponto Q' e P' e calcular a distância entre eles.

• Ponto Q':

Para a determinação deste ponto vamos montar uma reta que passe pelo ponto Q que consequentemente irá passar por Q'. Tomemos a reta $Q = Q_0 + v.t$, onde Q é dado pela abscissas, ordenada e cota, Qo o ponto inicial que no caso é o próprio ponto Q e v o vetor diretor da reta, que é basicamente o vetor normal ao plano e t um certo parâmetro.

$Q = Q_0 + v.t \: \: \to \: \: (x,y,z) = Q_0 + v.t \\ \\ (x,y,z) = (2, 0, 2) + \underbrace{(0, 0, - 1)}_{ \vec{AB} \times \vec{A C}} .t \\ (x,y,z) = (2, 0, 2) + (0, 0, - t) \\ \\ (x,y,z) = (2,0 , 2 - t) \: \to \: \begin{cases} x = 2 \\ y = 0 \\ z = 2 - t\end{cases}$

Agora façamos essa reta pertencer ao plano, isto é, intersectar o mesmo em um ponto, que no caso é Q'. Para isso basta substituir os valores paramétricos da reta na equação do plano.

$\underbrace{z = 3}_{eq. \: plano} \:, \: mas \: z = 2 - t \\ 2 - t = 3 \: \: \to \: \: t = - 1$

Então quer dizer que para que o ponto seja pertencente ao plano, o parâmetro t deve ser igual a -1. Usando esta informação podemos encontrar o ponto Q', apenas substituindo o parâmetro nas equações paramétricos da reta.

$Q' = \begin{cases}x = 2 \: \to \: \: x = 2 \\ y = 0 \: \to \: y = 0 \\ z = 2 - ( - 1) \: \to \: \: z = 3 \end{cases} \: \\ \\ \boxed{Q' = (2, 0, 3)}$

• Ponto P':

O cálculo do ponto P' vai ser basicamente a mesma coisa. Primeiro vamos tomar uma reta em termos de P, análogo a Q; $P = P_0 + v.t$. P é dado por (x,y,z), Po é o próprio ponto P, v é o vetor diretor da reta que passa por q, que no caso é o vetor informado na questão e t um parâmetro qualquer.

$P = P_0 + v.t \: \: \to \: \: (x,y,z) = P_0 + v.t \\ \\ (x,y,z) = (1, 0, 1) + \underbrace{(2, 1, 1)}_{ \vec{v}} .t \\ (x,y,z) = (1, 0, 1) + (2t, t, t) \\ \\ (x,y,z) = (1 + 2t, t,1 + t) \: \to \: \begin{cases} x = 1 + 2t \\ y = t \\ z = 1 + t\end{cases}$

Substituindo na equação do plano:

$z = 3 \: \: \to \: \: 1 + t = 3 \: \: \to \: t = 2$

Para finalizar, devemos substituir nas paramétricas.

$P' = \begin{cases} x = 1 + 2t \: \to \: \: x = 5 \\ y = t \: \to \: \: y = 2 \\ z = 1 + t \: \to \: z = 3\end{cases} \\ \\ \boxed{P' = (5, 2, 3)}$

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• Quarta parte:

Agora para finalizar de fato, vamos apenas calcular a distância entre estes pontos.

$d_{Q' ,P' } = \sqrt{(x_q' - x_p ' )^2 + (y_q ' - y_p ' )^2+(z_q ' -z_p ' )^2}</p><p> \\ d_{Q' ,P' } = \sqrt{(5 - 2) {}^{2} + (2 - 0) {}^{2} + (3 - 3) {}^{2} } \\ d_{Q' ,P' } = \sqrt{(3) {}^{2} + (2) {}^{2} } \\ d_{Q' ,P' } = \sqrt{9 + 4} \\ \boxed{\boxed{ d_{Q' ,P' } = \sqrt{13} }}$

Espero ter ajudado