Question

seja $A= \left[\begin{array}{ccc}1&2\\0&3\end{array}\right]$ uma matriz tal que $tr(A^{n})=244$. calcule o valor de n

por induçao vulgar eu achei que $tr=1+3^{n}=244{$, aguem saberia provar isso por PIF ou algum outro modo?

Answer 1

$A=\left[\begin{matrix} 1&2\\ 0&3 \end{matrix}\right]\\ \\ \\ A^2=\left[\begin{matrix} 1&8\\ 0&9 \end{matrix}\right] \\ \\ \\ A^3=\left[\begin{matrix} 1&26\\ 0&27 \end{matrix}\right]$

supongamos que

$A^{n-1}=\left[\begin{matrix} 1&3^{n-1}-1\\ 0&3^{n-1} \end{matrix}\right]$

Hallemos $A^n$:

$A^{n-1}\cdot A=\left[\begin{matrix} 1&3^{n-1}-1\\ 0&3^{n-1} \end{matrix}\right]\left[\begin{matrix} 1&2\\ 0&3 \end{matrix}\right]\\ \\ \\ A^n=\left[\begin{matrix} 1&3^n-1\\ 0&3^n \end{matrix}\right]$

Entonces

$\mbox{tr} A^n = 1+3^n\\ \\ 3^n = 243\\ \\ \boxed{n=5}$