Question

Seja

$A = \binom{1 \: \: x}{0 \: \: 1}$

onde x ∈ R é um numero real qualquer. Determine todas as matrizes da forma

$B = \binom{a \: \: b}{c \: \: d}$

para as
quais AB = BA qualquer que seja o valor de x.​

Answer 1

AB = $\left[\begin{array}{cc}1&x\\0&1\end{array}\right]$ $\left[\begin{array}{cc}a&b\\c&d\end{array}\right]$ = $\left[\begin{array}{cc}a+cx&b+dx\\c&d\end{array}\right]$

BA = $\left[\begin{array}{cc}a&b\\c&d\end{array}\right]$ $\left[\begin{array}{cc}1&x\\0&1\end{array}\right]$ = $\left[\begin{array}{cc}a&ax+b\\c&cx+d\end{array}\right]$

Para que AB = BA, temos:

→ a + cx = a ⇒ cx = 0 ∴ c = 0, se x ≠ 0, ou c ∈ |R, se x = 0.

→ b + dx = ax + b ⇒ ax = dx ∴ a = d, se x ≠ 0, ou a, d ∈ |R, se x = 0.

Logo:

B = $\left[\begin{array}{cc}a&b\\0&a\end{array}\right]$, a, b ∈ |R, se x ≠ 0.

B = $\left[\begin{array}{cc}a&b\\c&d\end{array}\right]$, a, b, c, d ∈ |R, se x = 0.