Question

Seja tan x = 2, com 0 < x < $\frac{ \pi }{2}$, calcule as demais razões trigonométricas.

Nota: Eu tentei fazer a questão, mas estou com uma dúvida: se pela razão, cotg x é 1/tanx, que por sua vez é igual à cosx/senx, eu poderia dizer que cosx=1 e que senx=2?

Answer 1

Vamos lá.

Veja, Rebecca, que a resolução é simples.
Tem-se que tan(x) = 2, estando o arco "x" no intervalo: 0 < x < π/2, o que significa o primeiro quadrante, local em que todas as funções trigonométricas são positivas.

Bem, agora vamos por parte, tentando fazer tudo passo a passo para um melhor entendimento.

i) se tan(x) = 2, então cot(x) = 1/2, pois cot(x) = 1/tan(x). Logo:

cot(x) = 1/tan(x) = 1/2 <---- Este será o valor de cotangente do arco "x".

ii) Então já temos que tan(x) = 2 e que cot(x) = 1/2.


iii)  Agora veja que temos uma outra relação segunda a qual tem-se:

sec²(x) = 1 + tan²(x) ------ como tan(x) = 2, teremos:
sec²(x) = 1 + 2²
sec²(x) = 1 + 4
sec²(x) = 5
sec(x) = +-√(5) ----- como o arco "x" é do 1ºquadrante, então a sec(x) será positiva e igual a:

sec(x) = √(5)     

iv) Se sec(x) = √(5), então já poderemos calcular o valor de cos(x), pois:

sec(x) = 1/cos(x) ---- substituindo-se sec(x) por √(5), teremos;
√(5) = 1/cos(x) ---- multiplicando-se em cruz, teremos:
√(5)*cos(x) = 1
cos(x) = 1/√(5) ---- para racionalizar, multiplicaremos numerador e denominador por "√(5)", ficando assim:

cos(x) = 1*√(5) / √(5)*√(5)
cos(x) = √(5) / 5 <--- Este é o valor de cos(x).

v) Agora vamos encontrar o valor de sen(x) pela primeira relação fundamental da trigonometria, que é esta:

sen²(x) + cos²(x) = 1 ---- substituindo-se cos(x) por √(5)/5, teremos:
sen²(x) + [√(5) / 5]² = 1 ---- desenvolvendo, teremos:
sen²(x) + 5/25 = 1 
sen²(x) = 1 - 5/25 ------- mmc = 25. Assim, utilizando-o, teremos;
sen²(x) = (25*1 - 5)/25
sen²(x) = (25-5)/25
sen²(x) = 20/25 ---- dividindo-se numerador e denominador por "5", temos:
sen²(x) = 4/5
sen(x) = +-√(4/5) --- ou, o que é a mesma coisa:
sen(x) = +-√(4)/√(5) ---- como √(4) = 2, teremos:
sen(x) = +-2/√(5) ---- para racionalizar, multiplicamos tudo por √(5). Logo:
sen(x) = +-2*√(5)/√(5)*√(5)
sen(x) = +-2√(5) / 5 ----- como no 1º quadrante o seno é positivo, temos;
sen(x) = 2√(5) / 5 <--- Este é o valor do arco seno.

vi) Finalmente vamos encontrar o valor da cossecante do arco "x", que é dada assim:

csc(x) = 1/sen(x) ----- substituindo-se sen(x) por seu valor, teremos;
csc(x) = 1/[2√(5)/5] ---- veja que isso é a mesma coisa que:
csc(x) = 5/2√(5) ---- para racionalizar multiplicamos tudo por √(5). Logo:
csc(x) = 5*√(5) / 2√(5)*√(5) ---- desenvolvendo, temos;
csc(x) = 5√(5) / 2*5
csc(x) = 5√(5) / 10 ---- simplificando tudo por "5", ficaremos apenas com:
csc(x) = √(5) / 2 <--- Este é o valor da cossecante do arco "x".

viii) Assim, resumindo, temos que todas as funções trigonométricas, partindo do valor de tan(x) = 2, serão estas (todas do 1º quadrante e, como tal, todas positivas):

tan(x) = 2
cot(x) = 1/2
sen(x) = 2√(5) / 5
cos(x) = √(5) / 5
sec(x) = √(5)
csc(x) = √(5) / 2

Pronto. Todas as funções trigonométricas, a partir de tan(x) = 2, são as que demos aí em cima.

É isso aí.
Deu pra entender bem?

OK?
Adjemir.