Question

Seja t uma função cuja primeira derivada vale t’=15x^2-6x+2. Sabendo que y(1)=5, y(x) é igual a

Answer 1

Temos a função t tal que $\mathsf{t'=15x^3-5x+2}$ e $\mathsf{t(1)=5}$. Pede-se para determinar a função t (acho que houve uma confusão com a notação, pois a função era t e passou a ser y).

Considerando a função como t, vamos inicialmente integrar a primeira derivada pois:

$\displaystyle\int\mathsf{t' dx= t(x)+C,\;C\in\mathbb{R}}$

Fazendo isso, temos:

$\displaystyle\int\mathsf{t'\,dx=\int(15x^2-6x+2)\,dx}=\\\\=\mathsf{\int(15x^2)\,dx-\int(6x)\,dx+\int 2\,dx}=\\\\=\mathsf{\dfrac{15x^3}{3}-\dfrac{6x^{2}}{2}-2x}=\\\\=\mathsf{5x^3-3x^2+2x+C}$

Portanto, a função t fica escrita, provisoriamente, como:

$\mathsf{t(x)=5x^3-3x^2+2x+C}$

Para encontrar o valor da constante C, vamos usar a informação t(1) = 5.

Desse modo:

$\mathsf{t(1)=5(1)^3-3(1)^2+2\cdot1+C=5}\implies\\\\\implies\mathsf{5-3+2+C=5}\implies\\\\\implies\mathsf{4+C=5}\implies\\\\\implies\boxed{\mathsf{C=1}}$

Logo, a função t(x) é igual a  $\mathsf{t(x)=5x^3-3x^2+2x+1.}$

Espero ter ajudado! :)