Question

Seja T : R³ -> R³ uma transformação linear dada por T(x; y; z) = (2x + Bz; Bz + 2y; By + 2z); determine para que valores de B a transformação linear não é sobrejetiva.

Answer 1

Oi, Jr.

Uma transformação linear é sobrejetiva ou sobrejetora se o conjunto imagem é igual ao contradomínio da transformação.

O contradomínio da transformação T é R³. Portanto, sua imagem deve ser todo o R³ também.

A transformação T = (2x + Bz, Bz + 2y, By + 2z) pode ser escrita, na forma matricial, como sendo:

$(2x + Bz, Bz + 2y, By + 2z) = \\\\ =\left[\begin{array}{ccc}2&0&B\\0&2&B\\0&B&2\end{array}\right] \cdot \left[\begin{array}{c}x\\y\\z\end{array}\right]$

Para que a imagem de T seja igual ao contradomínio R³, devem existir, para quaisquer vetores u = (x,y,z) pertencentes ao domínio R³, vetores v = (x',y',z') pertencentes ao contradomínio R³ tais que T(u) = v, ou seja, devem existir x', y' e z', para quaisquer x, y e z, tais que:

$\left[\begin{array}{ccc}2&0&B\\0&2&B\\0&B&2\end{array}\right] \cdot \left[\begin{array}{c}x\\y\\z\end{array}\right]=\left[\begin{array}{c}x'\\y'\\z'\end{array}\right]$

Para que a condição acima seja possível, o determinante da matriz 3x3 do sistema linear acima deve ser diferente de zero, ou seja:

$\begin{vmatrix}2&0&B\\0&2&B\\0&B&2\end{vmatrix}\neq0 \Rightarrow 8+0+0-0-2B^2-0\neq0 \Rightarrow \\\\\ 8-2B^2\neq0 \Rightarrow 2(4-B^2)\neq0 \Rightarrow 4-B^2\neq0 \Rightarrow\\\\ B^2\neq4 \Rightarrow \boxed{B\neq \pm 2}$