Question

Seja T : R² $\to$ R² o operador linear dado por T(x,y) = (2x + 3y, 4x - 5y).

Encontre a representação matricial de T em relação à base S = {(1 , 2) ; (2 , 5)}.

Answer 1

Boa Tarde!

Seja o operador linear $\sf T(x,y) = (2x + 3y, 4x - 5y) }$ , aplicaremos a transformação na base canônicas de $\mathbb {R}^2$, que é dada no enunciado:

$\Large {\text { \displaystyle \left \{ {{ T (1,2) = (8,-6)} \atop {T (2,5) = (19,-17)}} \right. }}$

Escrevendo a matriz que representa a transformação linear adicionando os vetores:

$\Large { T(x,y) = \left[\begin{array}{ccc}8&-6\\19&-17\end{array}\right] \left[\begin{array}{ccc}x\\y\end{array}\right] }$

O que na real fica:

$\Large { T = \left[\begin{array}{ccc}8&-6\\19&-17\end{array}\right] }$

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Autovalores de Lionelson

☀️ brainly.com.br/tarefa/49104070

OBS: Caso tenha mal visualização da resposta, deixarei imagens da resolução.

Answer 2

A representação matricial do operador linear dado em relação à base $S$ é

$\Large\text{ [T]_{S}^{S}=\left[\begin{array}{rr}52&129\\-22&-55\end{array}\right] .}$

_____

É dado o operador linear

$\Large\begin{aligned}T:\mathbb{R}^2&\to\mathbb{R}^2\\(x,y)&\mapsto(2x+3y,4x-5y)\end{aligned}$

e pede-se que seja encontrada a representação de tal operador em relação à base

$\Large\text{ S=\{(1,2),(2,5)\} .}$

Para tanto, relembre o seguinte. Sejam $T:V\to V$ uma transformação linear e $I:V\to V$ a transformação identidade. Além disso, sejam $\alpha$ e $\beta$ bases do espaço vetorial $V.$ Desse modo, a matriz da transformação linear $T$ em relação à base $\beta$ é

$\Large\text{ [T]_{\beta}^{\beta}=[I\circ T\circ I]_{\beta}^{\beta}=[I]_{\beta}^{\alpha}\cdot[T]_{\alpha}^{\alpha}\cdot[I]_{\alpha}^{\beta} ,}$

sendo $[I]_{\alpha}^{\beta}$ uma matriz invertível cuja inversa é $[I]_{\beta}^{\alpha}.$

Desse modo, seja $\xi$ a base canônica do $\mathbb{R}^2,$ ou seja, $\xi=\{(1,0),(0,1)\}.$ A matriz do operador linear dado em relação a essa base é

$\Large\text{ [T]_{\xi}^{\xi}=\left[\begin{array}{rr}2&3\\4&-5\end{array}\right] .}$

Ademais, a matriz de mudança da base $S$ para a $\xi$ da transformação identidade é

$\Large\text{ [I]_{\xi}^{S}=\left[\begin{array}{rr}1&2\\2&5\end{array}\right] .}$

O determinante dessa matriz é igual a $1\neq0.$ Assim sendo, ela é invertível e sua inversa pode ser determinada usando o método da matriz adjunta.

Por esse método, a inversa de uma matriz $A=\begin{bmatrix}a&b\\c&d\end{bmatrix}$ não singular é

$\Large\text{ A^{-1}=\dfrac{1}{ad-bc}\begin{bmatrix}d&-b\\-c&a\end{bmatrix} .}$

Dessa maneira, a inversa da matriz $[I]_{\xi}^{S}$ é

$\Large\text{ \left([I]_{\xi}^{S}\right)^{-1}=[I]_{S}^{\xi}=\left[\begin{array}{rr}5&-2\\-2&1\end{array}\right] .}$

Daí,

$\Large\begin{aligned}\,[T]_{S}^{S}&=[I]_{S}^{\xi}[T]_{\xi}^{\xi}[I]_{\xi}^{S}\\\\&=\left[\begin{array}{rr}5&-2\\-2&1\end{array}\right]\left[\begin{array}{rr}2&3\\4&-5\end{array}\right]\left[\begin{array}{rr}1&2\\2&5\end{array}\right]\\\\&=\left[\begin{array}{rr}2&25\\0&-11\end{array}\right]\left[\begin{array}{rr}1&2\\2&5\end{array}\right]\\\\&=\left[\begin{array}{rr}52&129\\-22&-55\end{array}\right].\end{aligned}$

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