Question

Seja T : R² → R² a transformação linear definida por T (x,y)=(2x-y,5x+y). verifique se o vetor v=(-4,-3) pertencem a imagem de T. se sim determine o valor de u que tem como imagem v

Answer 1

Verificar se $\overrightarrow{v}=(-4,-3)$ está na imagem de $\mathtt{T}$ equivale a verificar se $(2x-y,\.5x+y)=(-4,-3)$ tem solução

Para isso, o sistema abaixo deverá ter solução:

$\begin{cases}2x-y=-4\\5x+y=-3\end{cases}$

O sistema possuirá solução única se e somente se o determinante da matriz de coeficientes for não nulo, e isso ocorre, pois

$\mathtt{det}\left[\begin{array}{cc}2&-1\\5&~~1\end{array}\right]=2\cdot1-(-1)\cdot5=2+5=7\neq0$

Portanto, o sistema possui solução única, logo, o vetor $\overrightarrow{v}$ está na imagem de $\mathtt{T}$.
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Encontrando a solução do sistema, ou seja, encontrando o vetor $(x,y)\in\mathbb{R}^{2}$ tal que $\mathtt{T}(x,y)=(-4,-3)$:

$\begin{cases}2x-y=-4\\5x+y=-3\end{cases}$

Somando as equações:

$2x+5x-y+y=-4-3\\\\7x=-7\\\\\boxed{\boxed{x=-1}}$

Encontrando y:

$5x+y=-3\\\\y=-3-5x\\\\y=-3-5(-1)\\\\y=-3+5\\\\\boxed{\boxed{y=2}}$

Portanto, temos que $\mathtt{T}(-1,2)=(-4,-3)$

Logo, $\overrightarrow{u}=(-1,2)$