Question

Seja γ(t) = (R cost, R sen t), 0 ≤ t ≤ 2π. Mostre que

Answer 1

Por meio dos cálculos feitos, podemos ver que ao realizar as substituições e fatorações a integral final não depende da variável R.

Explicação

Temos a seguinte integral de linha:

$\: \: \:\:\: \: \:\:\:\: \:\bf \int_{\gamma} \frac{ - y}{x {}^{2} + y {}^{2} }dx + \frac{x}{x {}^{2} + y {}^{2} } dy$

• Onde gama é a região de integração, sendo ela dada pela parametrização $\gamma(t) = (R\cos(t),\: R\sin(t))$.

A partir destes dados, a questão pede para mostrarmos que ela não é dependente de $\bf R$, sendo $\bf R>0$.

• Integral de Linha:

Como sabemos, para calcular uma integral de linha sem a utilização do Teorema de Green, utilizamos o seguinte modelo de resolução:

$\boxed{ \rm \int_C f(x,y) \: dS =\int f(c(t)). | |c '(t) | | dt}$

Onde substituimos as parametrizações da região a qual estamos integrando dentro da função $\bf f(x,y)$ e calculamos a norma da derivada da parametrização da região.

• Derivada da parametrização:

Para derivar uma função vetorial, basta utilizar a mesma lógica usada nas derivadas algébricas. Como por exemplo na função $\bf f(t) = (t^3,\:t^2,t^4)$, para determinar a sua derivada , basta derivar cada uma das coordenadas$\bf f'(t) =(3t^2,\: 2t,\:4t^3)$.

Sabendo disto, vamos agora aplicar esta lógica na função vetorial de $\bf \gamma(t)$.

$\begin{cases}\gamma(t)=(R\cos(t), \: R\sin(t)) \: \: \\ \\ \gamma '(t)=( - R\sin(t), R\cos(t)) \\ \end{cases}$

• Norma:

A norma é basicamente o cálculo do módulo, que é simplesmente calcular o quadrado da soma de cada uma das coordenadas. Como por exemplo:

$| | \rm v| | = \sqrt{(v _{x})^{2} +(v _{y})^{2} +(v _{z})^{2}}$

Em uma função vetorial é análogo. Logo:

$\begin{cases} | |\gamma '(t)| | = \sqrt{ R {}^{2} \sin {}^{2} (t) +R {}^{2} \sin {}^{2} (t)} \\ \\ | |\gamma '(t)| | = \sqrt{R {}^{2} \cdot \underbrace{(\sin {}^{2} (t) + \cos {}^{2} (t)}_{ \sin {}^{2}(t) + \cos {}^{2} (t) = 1} )} \\ | |\gamma '(t)| | = \sqrt{ R {}^{2} .1} \\ \\ | |\gamma '(t)| | = R \end{cases}$

• Diferenciais

Como vamos mudar a variável para t, a diferencial também deve ser mudada. Para isso basta calcular a derivada de cada uma das coordenadas da parametrização.

$\begin{cases} x=R\cos(t) \\ \\ dx =- R\sin(t) \: dt\end{cases} \: \: \begin{cases}y =R\sin(t) \\ \\ dy = R\cos(t) \: dt\end{cases}$

• Limites de integração:

De acordo com a questão, devemos integrar no intervalo de $\bf0\leq t\leq2\pi$.

________________________________

Tendo organizado os dados, vamos substituir cada um deles na integral do enunciado.

$\int_ {0}^{2\pi} \frac{ - R\sin(t)}{(R\cos(t)) {}^{2} + ( R\sin(t)) {}^{2} } .(- R\sin(t) ) \: dt+ \frac{ R\cos(t)}{(R\cos(t)) {}^{2} + ( R\sin(t)) {}^{2} } .( R\cos(t) ) \: dt \\ \\ \int_ {0}^{2\pi} \frac{ R {}^{2} \sin {}^{2} (t) \: dt}{R {}^{2} . \underbrace{[ \sin {}^{2}(t) + \cos {}^{2}(t)] }_{1} } + \frac{R {}^{2} \cos {}^{2} (t) \: dt}{R {}^{2} . [ \underbrace{ \sin {}^{2}(t) + \cos {}^{2}(t)]}_{1} } \\ \\ \int_ {0}^{2\pi} \frac{ \cancel{ R {}^{2}} \sin {}^{2} (t) \: dt}{ \cancel{R {}^{2}} } + \frac{ \cancel{R {}^{2}} \cos {}^{2} (t) \: dt}{ \cancel{R {}^{2}} } \\ \\ \int_ {0}^{2\pi} \sin {}^{2} (t) \: dt + \cos {}^{2} (t) \: dt \\ \\ \int_ {0}^{2\pi} ( \underbrace{ \sin {}^{2} (t) + \cos {}^{2} (t)}_{1}) \: dt \\ \\ \boxed{\int_ {0}^{2\pi}1dt}$

Agora basta aplicar o Teorema Fundamental do Cálculo e resolver esta integral simples.

$\int_ {0}^{2\pi}1dt \: \to \: \: [t] \bigg | _ {0}^{2\pi} \: \: \to \: \: 2\pi - 0 \: \: \to \: \: \boxed{\bf2\pi}$

Portanto, podemos ver que esta integral de linha não foi dependente de R para encontrarmos o seu valor.

Espero ter ajudado

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