Question

Seja T: R^3 --> R^2 a transformação linear definida por T(x,y,z) = (2x+y-z, x+2y)

a) Determine o núcleo de T.T é injetora?
b) Determine a imagem de T.T é sobrejetora?

Answer 1

Resposta:

a)  $\mathrm{N}(T)=[(2,\,-1,\,3)]\ne \{(0,\,0,\,0)\}.$ Logo, T não é injetora.

b) $\mathrm{Im}(T)=\mathbb{R}^2.$ Logo, T é sobrejetora.

Explicação passo a passo:

Dada a transformação linear T definida conforme abaixo

    $\begin{array}{lcll} T:&\mathbb{R}^3&\!\!\!\to\!\!\!&\mathbb{R}^2\\\\ &(x,\,y,\,z)&\!\!\!\mapsto\!\!\! & (2x+y-z,\,x+2y)\end{array}$

determinar:

a) O núcleo de T:

Por definição, o núcleo de T é o conjunto

    $\mathrm{N}(T)=\{(x,\,y,\,z)\in\mathbb{R}^3:~T(x,\,y,\,z)=(0,\,0)\}.$

isto é, núcleo de T é o conjunto solução do seguinte sistema:

    $\left\{\begin{array}{l}2x+y-z=0\\x+2y=0 \end{array}\right.$

Isole $y$ na 2ª equação, e substitua na 1ª:

    $y=-\,\dfrac{x}{2}\qquad\checkmark$

    $\Longrightarrow\quad 2x+\left(-\dfrac{x}{2}\right)-z=0\\\\\\ \Longleftrightarrow\quad 4x-x-2z=0\\\\ \Longleftrightarrow\quad 3x-2z=0\\\\ \Longleftrightarrow\quad 2z=3x\\\\ \Longleftrightarrow\quad z=\dfrac{3x}{2}\qquad\checkmark$

Fazendo $x=2\lambda\in\mathbb{R},$ o conjunto solução do sistema é

    $\Longrightarrow\quad \mathrm{N}(T)=\left\{(x,\,y,\,z)\in\mathbb{R}^3:~~(x,\,y,\,z)=\left(2\lambda,\,-\lambda,\, 3\lambda\right),\,~~\lambda\in\mathbb{R}\right\}\\\\ \Longleftrightarrow\quad \mathrm{N}(T)=\left\{(x,\,y,\,z)\in\mathbb{R}^3:~~(x,\,y,\,z)=\lambda\cdot \left(2,\,-1,\, 3\right),\,~~\lambda\in\mathbb{R}\right\}\\\\ \Longleftrightarrow\quad\mathrm{N}(T)=[(2,\,-1,\,3)]\qquad\checkmark$

O núcleo de T é formado por todos os vetores múltiplos de $(2,\,1,\,-3).$ Como $\mathrm{N}(T)\ne \{(0,\,0,\,0)\},\,$ a transformação T não é injetora.

Obs.: Como o núcleo de T é gerado por apenas um vetor-não nulo, a dimensão do núcleo é

    $\mathrm{dim\big(N}(T)\big)=1.$

b) Calculando a imagem de T:

    $T(x,\,y,\,z)=(2x+y-z,\,x+2y)\\\\ \Longleftrightarrow\quad T(x,\,y,\,z)=(2x,\,x)+(y,\,2y)+(-z,\,0)\\\\ \Longleftrightarrow\quad T(x,\,y,\,z)=x\cdot (2,\,1)+y\cdot (1,\,2)+z\cdot (-1,\,0)$

Logo, a imagem de T é o subespaço gerado pelos vetores $(2,\,1),\,(1,\,2)$ e $(-1,\,0).$

    $\mathrm{Im}(T)=[(2,\,1),\,(1,\,2),\,(-1,\,0)].$

Mas perceba que se tomarmos dois vetores quaisquer dentre estes geradores, eles são linearmente independentes entre si (L.I.). Logo, a dimensão da imagem de T é

    $\mathrm{dim\big(Im}(T)\big)=2=\mathrm{dim}(\mathbb{R}^2).$

Como $\mathrm{Im}(T)$ é subespaço de $\mathbb{R}^2,$ com dimensão 2, a única possibilidade é termos

    $\Longrightarrow\quad \mathrm{Im}(T)=\mathbb{R}^2.$

Logo, T é sobrejetora.

Obs.:  Outra forma para avaliar a sobrejetividade de T é verificar se a equação

    $T(x,\,y,\,z)=(a,\,b)$

possui alguma solução para as variáveis $x,\,y$ e $z,$ qualquer que seja $(a,\,b)\in \mathbb{R}^2.$

Isto equivale a dizer que o sistema abaixo deve ser possível:

    $\left\{\begin{array}{l}2x+y-z=a\\x+2y=b \end{array}\right.$

Isolando $y$ na 2ª equação e substituindo na 1ª, temos

    $2y=b-x\\\\ \Longleftrightarrow\quad y=\dfrac{b-x}{2}\qquad\checkmark$

    $\Longrightarrow\quad 2x+\left(\dfrac{b-x}{2}\right)-z=a\\\\\\ \Longleftrightarrow\quad 4x+(b-x)-2z=2a\\\\ \Longleftrightarrow\quad 3x +b-2z=2a\\\\ \Longleftrightarrow\quad 2z=3x+b-2a\\\\ \Longleftrightarrow\quad z=\dfrac{3x+b-2a}{2}\qquad\checkmark$

Fazendo $x=\lambda\in\mathbb{R},$ o conjunto solução do sistema é

    $\left\{(x,\,y,\,z)\in\mathbb{R}^3:~~(x,\,y,\,z)=\left(\lambda,\,\dfrac{b-\lambda}{2},\,\dfrac{3\lambda+b-2a}{2}\right),~~\lambda\in\mathbb{R}\right\}.$

Logo, o sistema é possível para quaisquer $a,\,b\in\mathbb{R},$ e consequentemente, T é sobrejetora.

Dúvidas? Comente.

Bons estudos!