Question

Seja T : IR2 IR 2, um operador linear dado por T (x, y) = ( 2y, x) . O polinômio característico é dado por:

Answer 1

Base Canônica de R² = {(1,0), (0,1)}

Escrevendo as imagens dos elementos da base canônica, pela transformação T

T (x, y) = ( 2y, x)

T(1,0) = (2.0, 1) =(0,1)

T(0,1) = (2.1, +0 )=(2,0)

A matriz A da transformação linear será:

$A = \left[\begin{array}{cc}0&2\\1&0\end{array}\right]$

O polinômio característico será dado por:

P(x) = det [A - x.I], sendo I a martriz identidade de ordem 2

$\left[\begin{array}{cc}0&2\\1&0\end{array}\right] -x.\left[\begin{array}{cc}1&0\\0&1\end{array}\right] \\ \\ \left[\begin{array}{cc}0&2\\1&0\end{array}\right] -\left[\begin{array}{cc}x&0\\0&x\end{array}\right] = \left[\begin{array}{cc}0-x&2-0\\1-0&0-x\end{array}\right] \\ \\ = \left[\begin{array}{cc}-x&2\\1&-x\end{array}\right]$

p(x) = det da matriz

$p(x) = (-x).(-x) - 2 . 1 \\ \\ \boxed{\boxed{p(x) = x^{2} -2}}$