Question

Seja sen x + cos x = ½, calcule o valor de sen(2x).

Answer 1

O seno da soma de dois arcos ("a" e "b") é dada por:

$\boxed{sen(a+b)~=~sen(a)\cdot cos(b)+sen(b)\cdot cos(a)}$

Assim, o sen(2x) pode ser calculado com a=b=x, temos:

$sen(2x)~=~sen(x+x)\\\\\\sen(2x)~=~sen(x)\cdot cos(x)+sen(x)\cdot cos(x)\\\\\\\boxed{sen(2x)~=~2sen(x)\cdot cos(x)}$

Isso ainda não nos ajuda muito, não sabemos o valor de "2.sen(x).cos(x)".

Vamos lembrar, entretanto, do produto notável quadrado da soma.

$\boxed{(a+b)^2~=~a^2+2ab+b^2}$

Seja a=sen(x) e b=cos(x), podemos utilizar este produto notável para achar o valor de 2.sen(x).cos(x):

$(~sen(x)+cos(x)~)^2~=~sen^2x+2sen(x)\cdot cos(x)+cos^2(x)$

Substituindo o valor de sen(x)+cos(x):

$\left(\dfrac{1}{2}\right)^2~=~2sen(x)\cdot cos(x)+sen^2x+cos^2(x)\\\\\\\dfrac{1}{4}~=~2sen(x)\cdot cos(x)+sen^2x+cos^2(x)$

Vamos notar também a presença da identidade trigonométrica $\boxed{sen^2a+cos^2a~=~1}$  na equação. Efetuado a substituição, temos:

$\dfrac{1}{4}~=~2sen(x)\cdot cos(x)+1\\\\\\2sen(x)\cdot cos(x)~=~\dfrac{1}{4}-1\\\\\\\boxed{2sen(x)\cdot cos(x)~=\,-\dfrac{3}{4}}$

Sendo assim, temos então que sen(2x) vale:

$sen(2x)~=~2\cdot sen(x)\cdot cos(x)\\\\\\\boxed{sen(2x)~=\,-\dfrac{3}{4}}\\\\\\\\\Huge{\begin{array}{c}\Delta \tt{\!\!\!\!\!\!\,\,o}\!\!\!\!\!\!\!\!\:\,\perp\end{array}}Qualquer~d\acute{u}vida,~deixe~ um~coment\acute{a}rio$