Question

Seja S={(x,y,z)∈ R^3; x+y=z}
Mostre que S é um subespaço vetorial do R3

Answer 1

Resposta:

Explicação passo-a-passo:

v = (x1, x2, x1+x2) e u=(y1, y2, y1+y2) são dois vetores do subespaço S.

A soma de quaisquer dois vetores tem que estar no subespaço.

(x1, x2, x1+x2) + (y1, y2, y1+y2) =

(x1+y1, x2+y2, x1+x2+y1+y2) =

(x1+y1, x2+y2, x1+y1+x2+y2)

Pra entender melhor vou representar v=(1, 2, 3) e u = (0, 1, 1)

v+u = (1, 3, 4) ---> veja que 4 é a soma de 1+3, então está no subespaço.

O produto por escalar tem que estar no subespaço.

v = (x1, x2, x1+x2)

v = α(x1, x2, x1+x2) =

v = ((αx1, αx2, α(x1+x2)) =

v = ((αx1, αx2, α(x1+ αx2))

v=(1,2,3)

5v = 5(1,2,3) = (5, 10, 15), veja que 15 é a soma de 5 + 10, então está no subespaço.

Lembrando que esse subespaço é um plano que passa pela origem.

Não se esqueça que os vetores que vc pegar tem que satisfazer a relação x + y = z, caso contrário todo trabalho será em vão.

Answer 2

Explicação passo-a-passo:

O espaço S é caracterizado por ter sua terceira componente igual a soma das duas primeiras.

Para que S seja um subspaço vetorial de R³ a soma de quaisquer dois vetores de S deve pertencer a S e o produto de um escalar real λ com um vetor de S deve pertencer a S.

Sejam u = (x1, y1, x1 + y1) ∈ S e v = (x2, y2, x2 + y2) ∈ S

u + v = (x1 + x2, y1 + y2, x1 + y1 + x2 + y2) ∈ S

Talvez possa parecer que não, mas se colocar-mos assim ficara mas claro.

u + v = (x1 + x2, y1 + y2, (x1 + y1) + (x2 + y2)) ∈ S, a terceira componente é igual a soma das duas primeiras.

Seja λ ∈ R

λ.u = (λx1, λx2, λ(x1 + x2) = (λx1, λx2, λx1 + λx2) ∈ S, pois a terceira componente é igual a soma das duas primeiras componentes.

Logo S é subspaço se R³