Question

Seja S={(x,y,z)∈R^3; x=2y}
(A) Mostre que S é um subespaço vetorial do R3?
(B) Determine uma base a dimensão de S
(C)O que representa geometricamente S?

Answer 1

A)

(i)

$\vec 0 \in S, \ pois (0,0,0) \ aplicado \ em \ (2y,y,z) \Rightarrow (2.0,0,0)=(0,0,0)= \vec 0$

(ii)

$\forall u,v \in S \Rightarrow \alpha.u+v \in S\\\\Seja \ u=(x_1,y_1,z_1) \ e \ v=(x_2,y_2,z_2) \ como \ u \ e \ v \ estao \ em \ S, \ entao \ u=(2.y_1,y_1,z_1) \ e \ v=(2.y_2,y_2,z_2) \Rightarrow \alpha.(2.y_1,y_1,z_1)+(2.y_2,y_2,z_2)=(2.\alpha.y_1,\alpha.y_1,\alpha.z_1)+(2.y_2,y_2,z_2)=(2.\alpha.y_1+2.y_2,\alpha.y_1+y_2,\alpha.z_1+z_2)=(2.(\alpha.y_1+y_2),\alpha.y_1+y_2,\alpha.z_1+z_2) \ \\\\Seja \ \alpha.u+v=w=(x,y,z) \ entao\\\\(2.(\alpha.y_1+y_2),\alpha.y_1+y_2,\alpha.z_1+z_2)=(x,y,z)=(2y,y,z)$pois tem a mesma forma, portanto S é subespaço de $\mathbb{R}^3$

B)

$(2y,y,z)=y(2,1,0)+z(0,0,1) \ gerador, \ basta \ mostrar \ que \ eh \ LI\\Candidatos \ a \ base [(2,1,0);(0,0,1)]\\\\\alpha.(2,1,0)+\beta.(0,0,1)=(0,0,0) \Rightarrow (2\alpha,\alpha,\beta)=(0,0,0) \Rightarrow \alpha= \beta=0 \ logo \ LI\\\\(2,1,0) \ e \ (0,0,1) formam \ uma \ base \ de \ dimensao \ 2$

C)

Um plano x-2y=0 de vetor normal  $\vec n =(1,-2,0)$

Answer 2

Resposta:

I) u + v ∈ R

II) α.u ∈ S

Resolução

S = { (x, y, 0) ; x, y, z ∈ R}

Para u = (x1, y1, 0) ∈ S e v = (x2, y2, 0) ∈ S

u + v = (x1 + y1, x2 + y2, 0) ∈ S, pois a terceira componente é nula.

α.u = (α.x1, α.x2, 0) ∈ S, pois a terceira componente é nula.

As duas condições foram satisfeitas logo S é um subspaço vetorial de R³

Para que S seja um subspaço vetorial de R³ duas condições precisam ser satisfeitas.

Para quaisquer u, v ∈ S e α ∈ R

I) u + v ∈ R

II) α.u ∈ S

Resolução

S = { (x, y, 0) ; x, y, z ∈ R}

Para u = (x1, y1, 0) ∈ S e v = (x2, y2, 0) ∈ S

u + v = (x1 + y1, x2 + y2, 0) ∈ S, pois a terceira componente é nula.

α.u = (α.x1, α.x2, 0) ∈ S, pois a terceira componente é nula.

As duas condições foram satisfeitas logo S é um subspaço vetorial de R³

Bons estudos.